Em um cultivo contínuo de leveduras em reator de volume útil de 50 L , sendo o mesmo alimentado com meio estéril contendo 20 g de substrato por litro, foram obtidos os resultados expressos na Tabela 2 para estado permanente.
Tabela 2 - Dados de um cultivo contínuo.
F (L/h) S (g/L) X (g/L)
6,45 0,42 9,05
7,40 0,49 9,05
9,45 0,74 8,91
11,10 1,04 8,91
14,30 2,08 8,65
17,25 5,55 7,07
18,50 10,00 4,92
Com base nestes dados, determinar os valores de \mu_{\text {máx }}á e \mathrm{K}_{\mathrm{s}} para a levedura em estudo.

Passo 1

O enunciado descreve um cultivo contínuo (cămara de 50 L) em estado estacionário, onde o fluxo de afluente é F e as concentrações de substrato e biomassa são S e X. O conteúdo é cinética de Monod em quimiostato, em que na estabilidade \mu = D com D = F/V e
\mu = \mu_{\max}\,\frac{S}{K_{s}+S}.
Para linearizar usamos a forma de Lineweaver–Burk:
\frac{1}{\mu} = \frac{K_{s}}{\mu_{\max}}\,\frac{1}{S} + \frac{1}{\mu_{\max}}.
Assim, basta calcular D, depois os pares \bigl(1/S,\,1/D\bigr), ajustar uma reta y = m x + b e extrair
m = \frac{K_{s}}{\mu_{\max}},\quad b = \frac{1}{\mu_{\max}}.

Passo 2

Calcular D = F/50 (em h ^{-1}) e construir a tabela de \bigl(1/S,\,1/D\bigr):
\begin{array}{c|c|c|c|c} F\;/\;V & S & D & 1/S & 1/D\\hline 6{,}45/50 & 0{,}42 & 0{,}129 & 2{,}381 & 7{,}75\\\\ 7{,}40/50 & 0{,}49 & 0{,}148 & 2{,}041 & 6{,}757\\\\ 9{,}45/50 & 0{,}74 & 0{,}189 & 1{,}351 & 5{,}291\\\\ 11{,}10/50 & 1{,}04 & 0{,}222 & 0{,}962 & 4{,}504\\\\ 14{,}30/50 & 2{,}08 & 0{,}286 & 0{,}481 & 3{,}497\\\\ 17{,}25/50 & 5{,}55 & 0{,}345 & 0{,}180 & 2{,}899\\\\ 18{,}50/50 & 10{,}00 & 0{,}370 & 0{,}100 & 2{,}703 \end{array}

Passo 3

Fazer regressão linear em y_i = 1/D_i versus x_i = 1/S_i. Calculam-se
\sum x_i = 7{,}496,\quad \sum y_i = 33{,}401,\quad \sum x_i^2 = 12{,}859,\quad \sum x_i y_i = 46{,}185,\quad n=7.

Passo 4

Aplicar as fórmulas da reta
m = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2},\quad b = \frac{\sum y_i - m\sum x_i}{n}.
Substituindo,
m \approx \frac{7\cdot46{,}185 - 7{,}496\cdot33{,}401}{7\cdot12{,}859 - (7{,}496)^2} \approx 2{,}157,
b \approx \frac{33{,}401 - 2{,}157\cdot7{,}496}{7} \approx 2{,}463.

Passo 5

Lembrando que m = K_{s}/\mu_{\max} e b = 1/\mu_{\max}, vem
\mu_{\max} = \frac{1}{b} \approx \frac{1}{2{,}463} \approx 0{,}406\;\text{h}^{-1},
K_{s} = m\,\mu_{\max} \approx 2{,}157 \times 0{,}406 \approx 0{,}876\;\text{g/L}.

Resposta

\displaystyle \mu_{\max}\approx0,406\;\mathrm{h^{-1}},\quad K_{s}\approx0,876\;\mathrm{g/L}.

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