A tempo de vida de baterias é normalmente distribuído. A média anunciada é 300 ciclos. Uma amostra de
baterias forneceu
e desvio padrão amostral
. Teste, com
, se as baterias têm vida útil menor que a anunciada.
Passo 1
O enunciado pede para testar, ao nível de significância
, se a vida média das baterias é menor que a anunciada. Informações dadas:
Também foi informado que a vida é normalmente distribuída. Essas são todas as informações relevantes do enunciado.
Passo 2
Formulamos as hipóteses do teste (testando se a média é menor que a anunciada):
Explicação didática:
é a hipótese nula que assume que a média verdadeira é a anunciada.
é a hipótese alternativa que diz que a média é menor. Como
é “menor”, este é um teste unilateral à esquerda.
Passo 3
Escolha do teste e estatística: como a variância populacional é desconhecida (
não fornecida) e
é pequeno, usamos o teste
de Student. A estatística de teste é
Aqui
é a média amostral,
é a média sob
,
é o desvio padrão amostral e
é a raiz do tamanho da amostra. O denominador
é o erro padrão da média (estimação de quanto a média amostral varia).
Calculemos passo a passo o denominador:
Agora a estatística:
Arredondando,
. O número de graus de liberdade é
Passo 4
Critério de decisão pelo valor crítico: para um teste à esquerda com nível
e
, o valor crítico (tabela
de Student) é
Regra de decisão: rejeitamos
se
.
Passo 5
Compare a estatística com o crítico e decida:
Portanto,
não está na região de rejeição. Conclusão pelo critério do valor crítico: não rejeitamos
. Em palavras: não há evidência suficiente, ao nível
, para afirmar que a vida média é menor que
ciclos.
Passo 6
Cálculo do
-valor (explicando o que é): o
-valor é a probabilidade, sob
, de obter uma estatística tão extrema ou mais extrema que a observada. Aqui, sendo teste à esquerda,
Usando a tabela ou software para a distribuição
com 14 graus de liberdade, obtemos
Como
, chegamos à mesma conclusão: não rejeitar
. Interpretação prática: a amostra sugere uma média um pouco menor (
), mas a evidência não é forte o bastante para concluir que a verdadeira média é menor que
com confiança de
.
Passo 7
Condições e observação final de estudo: o teste
é válido porque o enunciado afirma que a vida é normalmente distribuída (necessário quando
é pequeno). Se a amostra fosse maior (
grande), poderíamos usar o
-teste aproximado. Para a prova: memorize a fórmula do
, saiba distinguir teste unilateral versus bilateral, calcule o erro padrão
, compare com o valor crítico da tabela
ou calcule o
-valor e interprete em termos de
.
Resposta
Não rejeitamos
. Não há evidência, ao nível
, de que a vida média seja menor que
ciclos (estatística
,
).