A tempo de vida de baterias é normalmente distribuído. A média anunciada é 300 ciclos. Uma amostra de n=15 baterias forneceu \bar{x}=290 e desvio padrão amostral s=25. Teste, com a=0,05, se as baterias têm vida útil menor que a anunciada.

Passo 1

O enunciado pede para testar, ao nível de significância \alpha=0{,}05, se a vida média das baterias é menor que a anunciada. Informações dadas:
n=15,\quad \bar{x}=290,\quad s=25,\quad\text{média anunciada } \mu_0=300,\quad \alpha=0{,}05.é
Também foi informado que a vida é normalmente distribuída. Essas são todas as informações relevantes do enunciado.

Passo 2

Formulamos as hipóteses do teste (testando se a média é menor que a anunciada):
H_0:\\ \mu = 300
H_1:\\ \mu < 300
Explicação didática: H_0 é a hipótese nula que assume que a média verdadeira é a anunciada. H_1 é a hipótese alternativa que diz que a média é menor. Como H_1 é “menor”, este é um teste unilateral à esquerda.

Passo 3

Escolha do teste e estatística: como a variância populacional é desconhecida ( \sigma não fornecida) e n é pequeno, usamos o teste t de Student. A estatística de teste é
t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}.
Aqui \bar{x} é a média amostral, \mu_0 é a média sob H_0, s é o desvio padrão amostral e \sqrt{n} é a raiz do tamanho da amostra. O denominador s/\sqrt{n} é o erro padrão da média (estimação de quanto a média amostral varia).
Calculemos passo a passo o denominador:
\sqrt{n}=\sqrt{15}\approx 3{,}87298,
\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{25}{\sqrt{15}}\approx\frac{25}{3{,}87298}\approx 6{,}455.
Agora a estatística:
t=\frac{290-300}{6{,}455}=\frac{-10}{6{,}455}\approx -1{,}549.
Arredondando, t\approx -1{,}55. O número de graus de liberdade é
\text{df}=n-1=14.

Passo 4

Critério de decisão pelo valor crítico: para um teste à esquerda com nível \alpha=0{,}05 e \text{df}=14, o valor crítico (tabela t de Student) é
t_{\text{crítico}}=-t_{0{,}95,14}\approx -1{,}761.í
Regra de decisão: rejeitamos H_0 se t\le t_{\text{crítico}}=-1{,}761í.

Passo 5

Compare a estatística com o crítico e decida:
t_{\text{calc}}\approx -1{,}55 > -1{,}761 = t_{\text{crítico}}.í
Portanto, t não está na região de rejeição. Conclusão pelo critério do valor crítico: não rejeitamos H_0. Em palavras: não há evidência suficiente, ao nível \alpha=0{,}05, para afirmar que a vida média é menor que 300 ciclos.

Passo 6

Cálculo do p-valor (explicando o que é): o p-valor é a probabilidade, sob H_0, de obter uma estatística tão extrema ou mais extrema que a observada. Aqui, sendo teste à esquerda,
p\text{-valor}=P(T_{14}\le -1{,}549).
Usando a tabela ou software para a distribuição t com 14 graus de liberdade, obtemos
p\text{-valor}\approx 0{,}07.
Como p\text{-valor}\approx 0{,}07>\alpha=0{,}05, chegamos à mesma conclusão: não rejeitar H_0. Interpretação prática: a amostra sugere uma média um pouco menor ( \bar{x}=290), mas a evidência não é forte o bastante para concluir que a verdadeira média é menor que 300 com confiança de 95\%.

Passo 7

Condições e observação final de estudo: o teste t é válido porque o enunciado afirma que a vida é normalmente distribuída (necessário quando n é pequeno). Se a amostra fosse maior ( n grande), poderíamos usar o z-teste aproximado. Para a prova: memorize a fórmula do t, saiba distinguir teste unilateral versus bilateral, calcule o erro padrão s/\sqrt{n}, compare com o valor crítico da tabela t ou calcule o p-valor e interprete em termos de \alpha.

Resposta

Não rejeitamos H_0. Não há evidência, ao nível \alpha=0{,}05, de que a vida média seja menor que 300 ciclos (estatística t\approx -1{,}55, p\text{-valor}\approx 0{,}07).

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