6- Com o objetivo de calcular o índice de satisfação global de uma empresa, aplicou-se um questionário a 200 dos seus clientes. Este índice varia de 0 (totalmente insatisfeito) a 100 (totalmente satisfeito). Com respeito a este índice, foi criado um IC de 95 \% para a média de satisfação global. O IC resultante foi de [43.5; 63.9]. Este IC foi construído supondo desvio-padrão populacional conhecido.
a) O desvio-padrão populacional do índice de satisfação é aproximadamente igual a 5,1 e a média amostral do índice de satisfação global é aproximadamente 53,7 ?
b) Como a diminuição do nível de confiabilidade, isto é, de 95 \% para 90 \% afetará o intervalo de confiança?
c) Considere as seguintes informações:a) Existe 95 \% de chance da média, do índice de satisfação global, estar contido no intervalo. b) Podemos afirmar que 95 \% dos IC, construídos a partir das amostras aleatórias extraídas desta população, conterão o verdadeiro valor do índice de satisfação médio. Qual das duas afirmações está correta? Justifique sua escolha.

Passo 1

O enunciado diz que, com n=200 clientes, construiu-se um intervalo de confiança de 95\% para a média da satisfação conhecendo o desvio-padrão populacional. O IC obtido foi
[43{,}5;63{,}9].
Precisamos em (a) verificar se \sigma\approx5{,}1 e \bar x\approx53{,}7; em (b) dizer o que muda no IC se o nível passa de 95\% para 90\%; e em (c) escolher a interpretação correta do IC.

Passo 2

Calculemos a média amostral como o ponto médio do IC e a meia-largura (erro máximo) como metade do comprimento do IC:
\bar x = \frac{43{,}5 + 63{,}9}{2} = 53{,}7, \quad \text{ME} = \frac{63{,}9 - 43{,}5}{2} = 10{,}2.

Passo 3

Pela fórmula do IC com \sigma conhecido,
\text{ME} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
onde para 95\% temos z_{0,025}=1{,}96 e n=200. Logo
\sigma = \frac{\text{ME}\,\sqrt{n}}{z_{0,025}} = \frac{10{,}2\;\sqrt{200}}{1{,}96} \approx 73{,}6.

Passo 4

Comparando com os valores dados:
– A média amostral \bar x\approx53{,}7 está correta.
– O desvio-padrão populacional estimado é \sigma\approx73{,}6, não 5{,}1.
Portanto a afirmação de \sigma\approx5{,}1 é falsa, mas a de \bar x\approx53{,}7 é verdadeira.

Passo 5

Se reduzirmos o nível de confiança de 95\% para 90\%, o quantil crítico cai de z_{0,025}=1{,}96 para z_{0,05}=1{,}645. Como
\text{ME} = z_{\alpha/2}\,\frac{\sigma}{\sqrt{n}},
um z menor torna a ME menor, e o intervalo de confiança fica mais estreito.

Passo 6

Interpretações:
-- (a) “Existe 95\% de chance da média estar contida no intervalo” associa probabilidade a um intervalo já calculado: incorreto, pois o IC é fixo e a média populacional é fixa não‐aleatória.
-- (b) “Podemos afirmar que 95\% dos IC, construídos a partir de amostras aleatórias, conterão o verdadeiro valor” é a interpretação frequentista correta: o procedimento gera, em média, 95\% de intervalos que cobrem a média verdadeira.

Resposta

a) A média \bar x\approx53{,}7 está certa, mas o desvio-padrão deve ser \sigma\approx73{,}6, não 5{,}1.
b) O intervalo fica mais estreito, pois o quantil crítico diminui de 1{,}96 para 1{,}645.
c) Apenas a afirmação (b) está correta.

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