Uma bala de aço, calor específico 440 \mathrm{~J} / \mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}, atinge o tronco de uma árvore a 400 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Considerando que metade do calor gerado por atrito é usado para aquecer a bala, que estava a uma temperatura de 40^{\circ} \mathrm{C} em um instante anterior ao choque, qual deve ser a temperatura final da bala em { }^{\circ} \mathrm{C} ?
\mathrm{R}: T=131^{\circ} \mathrm{C}

Passo 1

O enunciado pede a temperatura final da bala após o choque. Informações dadas: a bala é de aço com calor específico \,c=440\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}, sua velocidade ao atingir o tronco é \,v=400\\ \mathrm{m/s}, e sua temperatura inicial é \,T_i=40^\circ\mathrm{C}. Foi dito que metade do calor gerado por atrito é usado para aquecer a bala. A incógnita é a temperatura final \,T_f da bala em ^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Vamos entender qual energia vira calor. A bala tem energia cinética antes do choque dada por
E_k=\frac{1}{2}m v^2
onde \,m é a massa da bala e \,v a velocidade. A unidade de \,E_k é joule (\mathrm{J}). Isso é física básica de energia: quando algo se move, tem energia cinética proporcional à massa e ao quadrado da velocidade.

Passo 3

O enunciado diz que metade do calor gerado por atrito aquece a bala. Se toda a energia cinética for transformada em calor por atrito, a energia térmica total gerada seria \,E_k. A fração que aquece a bala é metade, portanto o calor absorvido pela bala é
Q=\frac{1}{2}E_k=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}m v^2=\frac{1}{4} m v^2
Aqui expliquei passo a passo: primeiro escrevi E_k, multipliquei por 1/2 (metade) e simplifiquei.

Passo 4

Agora relacionamos o calor absorvido com a elevação de temperatura usando a definição de calor específico:
Q = m c \Delta T
onde \,Q é o calor absorvido em joules, \,m a massa em kg, \,c o calor específico em \mathrm{J/(kg\cdot K)} e \,\Delta T a variação de temperatura em kelvin (ou graus Celsius, pois variação em K = variação em °C). Igualando as duas expressões para \,Q obtemos
m c \Delta T = \frac{1}{4} m v^2
Cancelamos \,m dos dois lados (nota importante: por isso a massa da bala não é necessária para a resposta) e isolamos \,\Delta T:
\Delta T=\frac{v^2}{4c}

Passo 5

Agora calculamos numericamente. Primeiro calcule \,v^2:
v^2 = 400^2 = 160\,000\\ \mathrm{m^2/s^2}
Dividindo por 4
\frac{v^2}{4}=40\,000
Em seguida dividimos por \,c=440\\ \mathrm{J/(kg\cdot K)}:
\Delta T=\frac{40\,000}{440}=\frac{4\,000}{44}=\frac{1\,000}{11}\approx 90{,}909\\ \mathrm{K}
A variação de temperatura em kelvin é numericamente igual à variação em graus Celsius, então a bala aquece cerca de 90{,}91^\circ\mathrm{C}. A temperatura final é
T_f = T_i + \Delta T = 40^\circ\mathrm{C} + 90{,}909^\circ\mathrm{C} \approx 130{,}909^\circ\mathrm{C}
Arredondando razoavelmente para o grau inteiro obtemos 131^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Resumo didático rápido: energia cinética vira calor; metade desse calor vai para a bala; usamos Q=m c \Delta T para achar a elevação de temperatura; a massa cancela; o resultado depende só de v e c. Você conseguiu — a conta é direta quando se organiza passo a passo!

Resposta

131^\circ\mathrm{C}

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