Uma partícula de massa m e carga positiva q move-se em um campo magnético B, uniforme e apontando na direção do eixo z. A força resultante sobre a partícula é descrita por F=q V times B. Resolva a equação de movimento para esta partícula e encontre r(t). Considere que em t=0, a posição e a velocidade da partícula são, respectivamente: r(0)=0 e V=V0 x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a trajetória vec r(t) de uma partícula de massa m e carga positiva q sujeita somente à força de Lorentz
vec F = q,vec Vtimesvec B
com vec B = B,hat z. Em t=0 temos vec r(0)=vec0 e vec V(0)=V0,hat x. O conteúdo é a solução das EDOs do movimento circular uniforme numa campo magnético.

Passo 2

Escrevemos mvec a = q,vec vtimesvec B. Como
vec v=(vx,vy,vz),vec B=(0,0,B)
o produto vetorial dá
vec F = qBl(vy,hat x - vx,hat yr)
e, dividindo por m, definindo
omega=qBm,
obtemos o sistema
dvxdt=omega,vy, dvydt=-omega,vx, dvzdt=0

Passo 3

Para vx fazemos derivar a primeira equação e substituímos a segunda, resultando em
d^2vxdt^2=-omega^2,vx,
cuja solução geral é
vx(t)=Acos(omega t)+Bsin(omega t)
Impondo vx(0)=V0 e dot vx(0)=omega vy(0)=0 achamos A=V0, B=0. Logo
vx(t)=V0cos(omega t), vy(t)=-V0sin(omega t), vz(t)=0

Passo 4

Integramos vec v=dotvec r com x(0)=y(0)=0:
x(t)=integral0^t vx(t'),dt'=V0omegasin(omega t),
y(t)=integral0^t vy(t'),dt'=-V0omegal(1-cos(omega t)r) =V0omegal(cos(omega t)-1r),
z(t)=0
Assim
vec r(t) =V0omegal[sin(omega t),hat x +(cos(omega t)-1),hat yr]

Passo 5

Bast a substituir omega=qB/m para escrever a resposta em função dos dados físicos.

Resposta

boxed vec r(t) =mV0qBl[sin!l(tfracqBmtr),hat x +l(cos!l(tfracqBmtr)-1r),hat yr]

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