Sobre a função:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{3} y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ 1 , & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right.
(a) Mostre que nāo é contínua em (0,0).

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x^{3}y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[1em] 1,&\text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
O conteúdo aqui é continuidade de funções de duas variáveis: para ser contínua em (0,0), seria necessário que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)=1.
Vamos mostrar que esse limite não é 1.]

Passo 2

Escolhemos a reta y=0. Para x\neq0 e y=0 temos
f(x,0)=\frac{x^{3}\cdot0}{\sqrt{x^{2}+0^{2}}}=0.
Logo
\lim_{(x,y)\to(0,0)\atop y=0}f(x,y) =\lim_{x\to0}f(x,0)=0\neq1.
Isso prova que o limite geral não coincide com f(0,0), ou seja, f não é contínua em (0,0).

Resposta

A função não é contínua em (0,0) porque ao longo de y=0 o limite de f(x,y) vale 0, distinto de f(0,0)=1.

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