Uma bala é lançada verticalmente para cima a 4 m do solo e leva 20 s para atingir a altura máxima. Considere o eixo x orientado verticalmente para cima e a origem no solo. Determine:
a) a velocidade inicial da bala.
b) a equação horária do movimento y(t).
c) a altura máxima atingida pela bala.
d) quanto tempo depois do lançamento a bala atinge o solo.

Passo 1

O enunciado diz que uma bala é lançada verticalmente para cima a 4 m do solo e leva 20 s para atingir a altura máxima. O eixo x está orientado para cima com a origem no solo. O conteúdo é cinemática unidimensional com aceleração constante (gravidade). Vamos usar as fórmulas
v(t)=v0 - g,t
y(t)=y0 + v0,t - tfrac12,g,t^2
com y0=4 m e g=9,8 m/s^2.

Passo 2

Para achar a velocidade inicial v0, note que no instante de altura máxima a velocidade instantânea é zero. Assim, em t=20 s:
0 = v0 - g,(20)
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v0 = g times 20 = 9,8 times 20 = 196 m/s

Passo 3

Com v0 e y0 definidos, a equação horária da posição fica
y(t) = 4 + 196,t - tfrac12,(9,8),t^2
ou seja
y(t) = 4 + 196,t - 4,9,t^2(m)

Passo 4

A altura máxima é y(20). Substituindo em
y(t) = 4 + 196,t - 4,9,t^2
obtemos
y(20) = 4 + 196times20 - 4,9times20^2 = 4 + 3920 - 1960 = 1964 m

Passo 5

Para achar o tempo total até a bala voltar ao solo, impomos y(tf)=0:
0 = 4 + 196,tf - 4,9,tf^2
isso é a equação quadrática
-4,9,tf^2 +196,tf +4 = 0
Usando fórmula de Bhaskara,
tf = 196 pm raiz196^2 +4cdot4,9cdot42cdot4,9
o único valor físico positivo é
tf approx 196 + 196,199,8 approx 40,02 s

Resposta

a) v0 = 196 m/s
b) y(t) = 4 + 196,t - 4,9,t^2
c) ymax = 1964 m
d) tsolo approx 40,02 s

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