Um projetista de páginas na Internet cria uma animação na qual um ponto da tela do computador possui posição r =(2,5 t^2+4,0) imath+(5,0 t) jmath, com posição em cm e tempo em s. Determine:
a) (RA1) A classificação do movimento nas direções x e y :
b) (RA2) A posição no instante t=2,0 s;
c) (RA2) A velocidade média entre t=0 s e t=2,0 s;
d) (RA2) O vetor velocidade instantânea em t=2,0 s;
e) (RA2) O vetor aceleração instantânea em t=2,0 s.

Passo 1

Vamos resumir o enunciado e identificar o conteúdo necessário para resolver o exercício. Temos a posição de um ponto na tela dada por:
r(t) = (2,5 t^2 + 4,0) imath + (5,0 , t) jmath
as unidades são cm para a posição e segundos para o tempo. Precisamos aplicar conceitos de Cinemática Vetorial, como classificação de movimento, cálculo de posição, velocidade média e instantânea, e aceleração instantânea.

Passo 2

a) Classificação do movimento nas direções x e y
Primeiro, vamos analisar as componentes da posição em cada direção.
Direção x:
A posição em x é dada por:
x(t) = 2,5 t^2 + 4
Isso é uma função quadrática em t, indicando movimento acelerado na direção x.
Direção y:
A posição em y é:
y(t) = 5,0 , t
Isto é uma função linear de t, indicando movimento retilíneo uniforme na direção y.

Passo 3

b) Posição no instante t=2,0 s
Para encontrar a posição no instante t=2,0 s, substituímos t por 2 na expressão de r(t):
x(2) = 2,5 times (2)^2 + 4 = 2,5 times 4 + 4 = 10 + 4 = 14 , cm
y(2) = 5,0 times 2 = 10 , cm
Portanto, a posição é:
r(2) = (14, 10) , cm

Passo 4

c) Velocidade média entre t=0 s e t=2,0 s
A velocidade média é calculada pela variação da posição dividida pela variação do tempo:
vmédia = r(2) - r(0)2 - 0 é
Primeiro, calculamos r(0):
x(0) = 2,5 times 0^2 + 4 = 4 , cm
y(0) = 5,0 times 0 = 0 , cm
Então,
vmédia = (14 - 4, , 10 - 0)2 = (10, 10)2 = (5, 5) , cm/s é

Passo 5

d) Vetor velocidade instantânea em t=2,0 s
A velocidade instantânea é a derivada da posição em relação ao tempo. Vamos calcular as derivadas das componentes x(t) e y(t).
vx(t) = dxdt = ddt(2,5 t^2 + 4) = 5 t
vy(t) = dydt = ddt(5,0 t) = 5,0
Substituindo t=2,0 s:
vx(2) = 5 times 2 = 10 , cm/s
vy(2) = 5,0 , cm/s
Portanto, o vetor velocidade instantânea é:
v(2) = (10, 5,0) , cm/s

Passo 6

e) Vetor aceleração instantânea em t=2,0 s
A aceleração instantânea é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou o segundo derivado da posição. Vamos calcular as derivadas das componentes de velocidade.
ax(t) = dvxdt = ddt(5 t) = 5
ay(t) = dvydt = ddt(5,0) = 0
Portanto, o vetor aceleração instantânea é:
a(2) = (5, 0) , cm/s^2

Resposta

a) O movimento na direção x é acelerado e na direção y é retilíneo uniforme.
b) A posição em t=2,0 s é r(2) = (14, 10) cm.
c) A velocidade média entre 0 s e 2,0 s é vmédia = (5, 5)é cm/s.
d) O vetor velocidade instantânea em t=2,0 s é v(2) = (10, 5,0) cm/s.
e) O vetor aceleração instantânea em t=2,0 s é a(2) = (5, 0) cm/s².

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