Bala de massa m é disparada para baixo a uma altura h_{1} com velocidade v_{0}. Ela penetra na areia uma profundidade h_{2}. Depois que a bola é disparada obtenha: a) Qual a variação da energia mecânica da bola? b) Qual a variação da energia interna do sistema bala-Terra-aréia?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo bem claro):
  • A massa da bala é \,m.
  • A bala é disparada para baixo a partir de uma altura \,h_{1} acima da superfície da areia, com velocidade inicial \,v_{0} (para baixo).
  • A bala penetra na areia uma profundidade \,h_{2} e, pelo enunciado, entendemos que ela para (velocidade final nula) depois de penetrar.
    As perguntas pedidas são:
    a) Qual a variação da energia mecânica da bala, isto é \,\Delta E_{\text{mec}}?
    b) Qual a variação da energia interna do sistema bala–Terra–areia, isto é \,\Delta U_{\text{int}}?

Passo 2

Vou escolher uma referência para a energia potencial gravitacional para facilitar as contas: tomo a superfície da areia como zero de energia potencial. Isso é apenas uma escolha de referência; o resultado físico (variação de energia) não depende dessa escolha, desde que eu seja consistente. Com essa escolha:
  • A energia potencial gravitacional inicial da bala é \,U_{i}=m g h_{1} (porque ela está a \,h_{1} acima da superfície).
  • Após penetrar \,h_{2} a bala está \,h_{2} abaixo da superfície, então a energia potencial final é \,U_{f}=-m g h_{2}.

Passo 3

Definição e valores da energia cinética:
  • Energia cinética inicial: \,K_{i}=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2} (velocidade inicial \,v_{0}).
  • Energia cinética final: \,K_{f}=0, porque a bala para dentro da areia.

Passo 4

Agora escrevo a energia mecânica total (cinética + potencial) no início e no fim:
  • Energia mecânica inicial:
E_{i}=K_{i}+U_{i}=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g h_{1}.
  • Energia mecânica final:
E_{f}=K_{f}+U_{f}=0+(-m g h_{2})=-m g h_{2}.

Passo 5

A variação da energia mecânica da bala é a diferença final menos inicial:
\Delta E_{\text{mec}}=E_{f}-E_{i}=-m g h_{2}-\left(\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g h_{1}\right).
Agrupando termos, fica mais claro:
\Delta E_{\text{mec}}=-\left(\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g (h_{1}+h_{2})\right).
Interpretação rápida: \Delta E_{\text{mec}}<0, ou seja, a energia mecânica diminuiu — essa perda é exatamente a energia que foi dissipada (em calor, deformação, som etc.) pela areia e pelo sistema.

Passo 6

Explicação física e fórmula útil: quando existem forças não conservativas (a força de atrito/ resistência da areia, por exemplo), a variação da energia mecânica de um sistema é igual ao trabalho dessas forças não conservativas. Em símbolos:
\Delta E_{\text{mec}}=W_{\text{nc}}.
No nosso caso a força da areia faz trabalho negativo (retira energia mecânica) e esse trabalho é o valor calculado para \Delta E_{\text{mec}}.

Passo 7

Conservação da energia total para o sistema bala–Terra–areia: a energia mecânica perdida foi convertida em aumento de energia interna (calor, deformação, aumento de temperatura, som, etc.) do sistema. Portanto a variação da energia interna é o negativo da variação da energia mecânica:
\Delta U_{\text{int}}=-\Delta E_{\text{mec}}=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g (h_{1}+h_{2}).
Interpretação: o aumento da energia interna é composto pela energia cinética inicial que foi dissipada mais a energia potencial gravitacional que foi “liberada” quando a bala desceu \,h_{1}+h_{2}.

Resposta

a) \displaystyle \Delta E_{\text{mec}}=-\left(\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g (h_{1}+h_{2})\right)
b) \displaystyle \Delta U_{\text{int}}=\dfrac{1}{2}m v_{0}^{2}+m g (h_{1}+h_{2})

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