Uma balança de mola é calibrada de tal forma que o prato desce de 10 cm quando uma massa de 2 kg está em equilíbrio sobre ele. Uma bola de 1 kg de massa fresca de pão, guardada numa prateleira 2 m acima do prato da balança, escorrega da prateleira e cai sobre ele. Não levando em conta as massas do prato e da mola, de quanto desce o prato da balança?

Passo 1

O enunciado fala de uma balança com mola que, em equilíbrio, se alonga 0,10,m quando coloca-se uma massa de 2,kg. Uma bola de 1,kg escorrega de uma prateleira 2,m acima do prato e atinge a mola sem considerar a massa do prato e da mola. Queremos saber qual a máxima descida x_{\max} do prato.

Passo 2

Calibrar a constante elástica k da mola usando o equilíbrio com m=2,kg e alongamento x=0,10,m. Em equilíbrio temos
k\,x = m\,g
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k = \frac{m\,g}{x} = \frac{2\cdot9{,}8}{0{,}10} = 196\\ \text{N/m}.

Passo 3

Quando a bola de massa m=1,kg cai de altura h=2,m, ela atinge o prato com energia cinética equivalente a mgh. Ao comprimir a mola até a máxima extensão x_{\max}, essa energia se converte em parte na energia elástica \tfrac12 k x_{\max}^2 e parte no trabalho da força peso m g\,x_{\max}. Pela conservação de energia:
m\,g\,(h + x_{\max}) = \tfrac12\,k\,x_{\max}^2.

Passo 4

Substituindo m=1,kg, g=9{,}8,m/s², h=2,m e k=196,N/m na equação anterior:
1\cdot9{,}8\,(2 + x_{\max}) = \tfrac12\cdot196\;x_{\max}^2 \quad\Longrightarrow\quad 9{,}8\,(2 + x_{\max}) = 98\;x_{\max}^2.
Dividindo por 9{,}8:
2 + x_{\max} = 10\;x_{\max}^2 \quad\Longrightarrow\quad 10\,x_{\max}^2 - x_{\max} - 2 = 0.
Resolvendo a equação do 2º grau:
x_{\max} = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 80}}{20} = \frac{1 \pm 9}{20}.
Descartamos a raiz negativa e ficamos com
x_{\max} = \frac{10}{20} = 0{,}50\\ \text{m}.

Resposta

A máxima descida do prato é de 0{,}50,m.

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