Um copo em repouso na origem de um sistema de coordenadas x y explode em três pedaços. Logo depois da explosão um dos pedaços, de massa m, está se movendo com velocidade ( -30 \mathrm{~m} / \mathrm{s} ) î , e um segundo pedaço, também de massa m, está se movendo em velocidade ( 30 \mathrm{~m} / \mathrm{s}) \hat{\mathbf{j}}. O terceiro pedaço tem massa 3 m . Determine: a) o módulo e b) a orientação da velocidade do terceiro pedaço logo após a explosão.

Passo 1

O enunciado: um copo em repouso explode em três pedaços. Dois deles, cada um de massa m, saem com
\vec v_1 = (-30\,\hat{\mathbf{i}})\,\text{m/s} e \vec v_2 = (30\,\hat{\mathbf{j}})\,\text{m/s}.
O terceiro pedaço tem massa 3m e velocidade \vec v_3 desconhecida. Usaremos conservação do momento linear, pois não há forças externas atuando.

Passo 2

Escrevendo a conservação do momento linear logo após a explosão:
m\,\vec v_1 \;+\; m\,\vec v_2 \;+\; 3m\,\vec v_3 \;=\;\vec 0.
Dividindo por m:
\vec v_1 \;+\;\vec v_2 \;+\;3\,\vec v_3 \;=\;\vec 0.

Passo 3

Em componentes cartesianas, \vec v_1 =(-30,0) e \vec v_2 =(0,30) (em m/s). Então
(-30,0) \;+\;(0,30)\;+\;3\,(v_x,v_y)\;=\;(0,0).
Separando coordenadas:
x: -30 +3v_x=0 \Rightarrow v_x=10 (m/s)
y: 30 +3v_y=0 \Rightarrow v_y=-10 (m/s)

Passo 4

Agora, o módulo de \vec v_3=(10,-10) é
\|\vec v_3\| = \sqrt{10^2 +(-10)^2} = 10\sqrt{2}\,\text{m/s}.
A orientação \theta em relação ao eixo x positivo é
\theta = \arctan\!\bigl(\tfrac{v_y}{v_x}\bigr) = \arctan(-1) = -45^\circ,
ou seja, 45^\circ abaixo do eixo x positivo.

Resposta

a) 10\sqrt{2}\,\text{m/s}
b) -45^\circ ( 45\circ abaixo do eixo x positivo)

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