A única força que age sobre um corpo de 5,0 \mathrm{~kg} enquanto o corpo se move no semieixo positivo de um eixo x tem uma componente F x=-10 x N, com x em metros. A velocidade do corpo em x=6,0 \mathrm{~m} é 10,0 \mathrm{~m} / \mathrm{s}. Qual é a velocidade do corpo em \mathrm{x}= 5,0 \mathrm{~m} ?

Passo 1

O enunciado diz que um corpo de massa m=5{,}0\\ \mathrm{kg} move-se no semieixo positivo de x sob a única força
\;F_x=-10\,x\\ \mathrm{N},
e que em x=6{,}0\\ \mathrm{m} a velocidade é v_i=10{,}0\\ \mathrm{m/s}. Queremos a velocidade v em x=5{,}0\\ \mathrm{m}. O método mais direto é usar o teorema trabalho-energia cinética.

Passo 2

Segundo o teorema trabalho-energia cinética, o trabalho W da força entre dois pontos iguala a variação da energia cinética:
W = \Delta K = K_f - K_i.
Vamos calcular o trabalho de x=6 a x=5 pela integral
W = \int_{6}^{5} F(x)\,\mathrm{d}x = \int_{6}^{5} (-10x)\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Realizando a integral:
W =-10\int_{6}^{5} x\,\mathrm{d}x =-10\biggl[\frac{x^2}{2}\biggr]_{6}^{5} =-5\bigl(5^2-6^2\bigr) =-5\bigl(25-36\bigr) =55\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Em x=6 a energia cinética inicial é
K_i = \frac12\,m\,v_i^2 = \frac12\cdot5\cdot10^2 =250\\ \mathrm{J}.
Como W=\Delta K, a energia cinética final em x=5 é
K_f = K_i + W = 250 + 55 = 305\\ \mathrm{J}.
Portanto
\frac12\,m\,v^2 = 305 \quad\Longrightarrow\quad \frac12\cdot5\,v^2 = 305 \quad\Longrightarrow\quad v^2 = \frac{305}{2{,}5} = 122 \quad\Longrightarrow\quad v = \sqrt{122}\approx11{,}0\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

A velocidade do corpo em x=5{,}0\\ \mathrm{m} é aproximadamente 11{,}0\\ \mathrm{m/s}.

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