Resolva as EDO’s, utilizando os autovalores e autovetores.
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0 \quad 32 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}-49 \frac{d x}{d t}+11 x=0
\begin{aligned} & \mathrm{x}(0)=8 \\\ & \mathrm{x}^{\prime}(0)=1\end{aligned}

Passo 1

Temos duas EDOs homogêneas de segunda ordem para resolver. O enunciado dá:
y''+3y'-y=0
e
32\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-49\frac{dx}{dt}+11x=0
com condições iniciais (apenas para a segunda equação)
x(0)=8,\qquad x'(0)=1.
O que se pede é obter a solução de cada EDO. Vou usar a abordagem pedida: transformar cada EDO de segunda ordem em um sistema linear de primeira ordem e resolver esse sistema usando autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Ideia do método (passo-a-passo didático):
  1. Transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso definimos o vetor de estado com a variável e sua derivada. Por exemplo, para y definimos \;Y=\begin{pmatrix}y\\\ y'\end{pmatrix}. O sistema terá a forma \;Y' = A Y\; para alguma matriz A.
  2. Encontrar os autovalores \lambda da matriz A resolvendo \det(A-\lambda I)=0 (polinômio característico).
  3. Para cada autovalor \lambda encontrar um autovetor v resolvendo (A-\lambda I)v=0.
  4. A solução geral do sistema é combinação linear de termos v e^{\lambda t}. A solução da EDO original é a primeira componente desse vetor solução.
    Vou aplicar exatamente isso, com contas explicitadas.

Passo 3

Resolvendo a primeira EDO \;y''+3y'-y=0. Coloco y_1=y e y_2=y'. Então
y_1' = y_2,\qquad y_2' = y''.
Da EDO temos y'' = -3y' + y. Assim o sistema é
\begin{pmatrix}y_1'\\[4pt]y_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}y_1\\[4pt]y_2\end{pmatrix}.
Portanto a matriz do sistema é
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]1 & -3\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculando os autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]1 & -3-\lambda\end{pmatrix} =\lambda(3+\lambda)-1=\lambda^{2}+3\lambda-1.
Resolvo \lambda^{2}+3\lambda-1=0 pela fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{-3\pm\sqrt{3^{2}-4(1)(-1)}}{2}=\frac{-3\pm\sqrt{13}}{2}.
Logo os autovalores são
\lambda_{1}=\frac{-3+\sqrt{13}}{2},\qquad \lambda_{2}=\frac{-3-\sqrt{13}}{2}.]

Passo 5

Encontro autovetores. Para matrizes do tipo sistema companheiro (como aqui) normalmente o autovetor associado a \lambda pode ser escolhido como \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}, porque da equação -\lambda v_1 + v_2=0 segue v_2=\lambda v_1. Verificação: (A-\lambda I)\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}=0. Assim os autovetores correspondentes são
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_{1}\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_{2}\end{pmatrix}.]

Passo 6

Solução geral do sistema e da EDO. A solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}y_1(t)\\[4pt]y_2(t)\end{pmatrix} = C_{1} v_{1} e^{\lambda_{1} t} + C_{2} v_{2} e^{\lambda_{2} t},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias. A função original é y(t)=y_1(t), ou seja
y(t)=C_{1} e^{\lambda_{1} t}+C_{2} e^{\lambda_{2} t}.
Substituindo os valores de \lambda_{1},\lambda_{2} obtém-se a forma final:
y(t)=C_{1}\exp\!\left(\frac{-3+\sqrt{13}}{2}\,t\right)+C_{2}\exp\!\left(\frac{-3-\sqrt{13}}{2}\,t\right).
Pronto — é a solução geral da primeira EDO.]

Passo 7

Agora a segunda EDO
32x''-49x'+11x=0.
Primeiro coloco na forma padrão dividindo por 32:
x''-\frac{49}{32}x'+\frac{11}{32}x=0.
Defino x_1=x e x_2=x'. Então
x_1'=x_2,\qquad x_2'=x''=\frac{49}{32}x_2-\frac{11}{32}x_1.
O sistema em forma matricial é
\begin{pmatrix}x_1'\\[4pt]x_2'\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-\dfrac{11}{32} & \dfrac{49}{32}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\end{pmatrix}.
Chamo esta matriz de
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt]-\dfrac{11}{32} & \dfrac{49}{32}\end{pmatrix}.]

Passo 8

Calculo dos autovalores de A. O polinômio característico é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}-\lambda & 1\\[4pt]-\dfrac{11}{32} & \dfrac{49}{32}-\lambda\end{pmatrix} =\lambda\!\left(\lambda-\dfrac{49}{32}\right)+\dfrac{11}{32} =\lambda^{2}-\dfrac{49}{32}\lambda+\dfrac{11}{32}.
Resolvo \lambda^{2}-\dfrac{49}{32}\lambda+\dfrac{11}{32}=0. Pelo fórmula de Bhaskara:
\lambda=\frac{\dfrac{49}{32}\pm\sqrt{\left(\dfrac{49}{32}\right)^{2}-4\cdot\dfrac{11}{32}}}{2}.
Calculo o discriminante dentro da raiz:
\left(\dfrac{49}{32}\right)^{2}-4\cdot\dfrac{11}{32} =\dfrac{2401}{1024}-\dfrac{44}{32} =\dfrac{2401}{1024}-\dfrac{1408}{1024} =\dfrac{993}{1024}.
Logo \sqrt{\text{discriminante}}=\dfrac{\sqrt{993}}{32}. Portanto
\lambda=\frac{\dfrac{49}{32}\pm\dfrac{\sqrt{993}}{32}}{2} =\frac{49\pm\sqrt{993}}{64}.
Denoto \mu=\sqrt{993} para simplificar notação. Assim
\lambda_{1}=\frac{49+\mu}{64},\qquad \lambda_{2}=\frac{49-\mu}{64}.]

Passo 9

Autovetores da segunda matriz. Novamente, para cada \lambda do sistema tipo companheiro, um autovetor pode ser escolhido como \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}. Logo
v_{1}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_{1}\end{pmatrix},\qquad v_{2}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda_{2}\end{pmatrix}.
A solução geral do sistema é
\begin{pmatrix}x_1(t)\\[4pt]x_2(t)\end{pmatrix} = C_{1} v_{1} e^{\lambda_{1} t} + C_{2} v_{2} e^{\lambda_{2} t}.
Novamente a função procurada é x(t)=x_1(t), ou seja
x(t)=C_{1} e^{\lambda_{1} t}+C_{2} e^{\lambda_{2} t}.]

Passo 10

Aplico as condições iniciais x(0)=8 e x'(0)=1. Como x(0)=x_1(0) e x'(0)=x_2(0), temos
x(0)=C_{1}+C_{2}=8,
x'(0)=C_{1}\lambda_{1}+C_{2}\lambda_{2}=1.
Resolvo esse sistema linear para C_{1},C_{2}. Subtraindo \lambda_{2} vezes a primeira equação da segunda:
C_{1}(\lambda_{1}-\lambda_{2})=1-\lambda_{2}\cdot 8.
Logo
C_{1}=\frac{1-8\lambda_{2}}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}.
De modo análogo
C_{2}=\frac{8\lambda_{1}-1}{\lambda_{1}-\lambda_{2}}.
Agora substituo \lambda_{1}=\dfrac{49+\mu}{64}, \lambda_{2}=\dfrac{49-\mu}{64} e \lambda_{1}-\lambda_{2}=\dfrac{2\mu}{64}=\dfrac{\mu}{32}. Faço as contas algébricas explicitando o resultado em termos de \mu=\sqrt{993}.
Calculo 1-8\lambda_{2}:
1-8\lambda_{2}=1-8\cdot\dfrac{49-\mu}{64} =1-\dfrac{49-\mu}{8} =\dfrac{8-(49-\mu)}{8}=\dfrac{-41+\mu}{8}.
Dividindo por \lambda_{1}-\lambda_{2}=\dfrac{\mu}{32} obtemos
C_{1}=\frac{\dfrac{-41+\mu}{8}}{\dfrac{\mu}{32}} =\dfrac{-41+\mu}{8}\cdot\dfrac{32}{\mu} =\dfrac{4(-41+\mu)}{\mu} =\frac{4(\mu-41)}{\mu}.
De forma similar,
8\lambda_{1}-1=\dfrac{49+\mu}{8}-1=\dfrac{41+\mu}{8},
e então
C_{2}=\frac{\dfrac{41+\mu}{8}}{\dfrac{\mu}{32}} =\dfrac{4(41+\mu)}{\mu} =\frac{4(\mu+41)}{\mu}.
Verifique mentalmente: C_{1}+C_{2}=\dfrac{4(\mu-41)+4(\mu+41)}{\mu}=\dfrac{8\mu}{\mu}=8, como esperado.

Passo 11

Escrevo a solução final da segunda EDO com as constantes encontradas. Lembrando \lambda_{1}=\dfrac{49+\mu}{64}, \lambda_{2}=\dfrac{49-\mu}{64} e \mu=\sqrt{993}, temos
x(t)=\frac{4(\mu-41)}{\mu}\,e^{\frac{49+\mu}{64}t}+\frac{4(\mu+41)}{\mu}\,e^{\frac{49-\mu}{64}t}.

Resposta

y(t)=C_{1}\exp\!\left(\dfrac{-3+\sqrt{13}}{2}\,t\right)+C_{2}\exp\!\left(\dfrac{-3-\sqrt{13}}{2}\,t\right)
x(t)=\dfrac{4(\sqrt{993}-41)}{\sqrt{993}}\,e^{\frac{49+\sqrt{993}}{64}t}+\dfrac{4(\sqrt{993}+41)}{\sqrt{993}}\,e^{\frac{49-\sqrt{993}}{64}t}

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