Temos duas EDOs homogêneas de segunda ordem para resolver. O enunciado dá:
y''+3y'-y=0
e
32\frac{d^{2}x}{dt^{2}}-49\frac{dx}{dt}+11x=0
com condições iniciais (apenas para a segunda equação)
x(0)=8,\qquad x'(0)=1.
O que se pede é obter a solução de cada EDO. Vou usar a abordagem pedida: transformar cada EDO de segunda ordem em um sistema linear de primeira ordem e resolver esse sistema usando autovalores e autovetores da matriz do sistema.
Passo 2
Ideia do método (passo-a-passo didático):
Transformar a EDO de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Para isso definimos o vetor de estado com a variável e sua derivada. Por exemplo, para y definimos \;Y=\begin{pmatrix}y\\\ y'\end{pmatrix}. O sistema terá a forma \;Y' = A Y\; para alguma matriz A.
Encontrar os autovalores \lambda da matriz A resolvendo \det(A-\lambda I)=0 (polinômio característico).
Para cada autovalor \lambda encontrar um autovetor v resolvendo (A-\lambda I)v=0.
A solução geral do sistema é combinação linear de termos v e^{\lambda t}. A solução da EDO original é a primeira componente desse vetor solução.
Vou aplicar exatamente isso, com contas explicitadas.
Passo 3
Resolvendo a primeira EDO \;y''+3y'-y=0. Coloco y_1=y e y_2=y'. Então
Encontro autovetores. Para matrizes do tipo sistema companheiro (como aqui) normalmente o autovetor associado a \lambda pode ser escolhido como \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}, porque da equação -\lambda v_1 + v_2=0 segue v_2=\lambda v_1. Verificação: (A-\lambda I)\begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}=0. Assim os autovetores correspondentes são
Autovetores da segunda matriz. Novamente, para cada \lambda do sistema tipo companheiro, um autovetor pode ser escolhido como \begin{pmatrix}1\\[4pt]\lambda\end{pmatrix}. Logo
Agora substituo \lambda_{1}=\dfrac{49+\mu}{64}, \lambda_{2}=\dfrac{49-\mu}{64} e \lambda_{1}-\lambda_{2}=\dfrac{2\mu}{64}=\dfrac{\mu}{32}. Faço as contas algébricas explicitando o resultado em termos de \mu=\sqrt{993}.
Verifique mentalmente: C_{1}+C_{2}=\dfrac{4(\mu-41)+4(\mu+41)}{\mu}=\dfrac{8\mu}{\mu}=8, como esperado.
Passo 11
Escrevo a solução final da segunda EDO com as constantes encontradas. Lembrando \lambda_{1}=\dfrac{49+\mu}{64}, \lambda_{2}=\dfrac{49-\mu}{64} e \mu=\sqrt{993}, temos