Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de 8 \mathrm{~cm}^{3} / \mathrm{min}. O cone tem 20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da água está subindo à razão de 1 \mathrm{~mm} / \mathrm{min}, com que velocidade a água estará escoando quando esta estiver a 16 cm do fundo?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um recipiente em forma de cone onde estamos despejando água a uma taxa de 8 \, \text{cm}^3/\text{min}. O cone tem 20 cm de altura e 10 cm de diâmetro na parte de cima. Além disso, tem um furo na base por onde a água está saindo. A água está subindo no cone a uma taxa de 1 \, \text{mm}/\text{min} (que é o mesmo que 0,1 \, \text{cm}/\text{min}). Nosso objetivo é descobrir com que velocidade a água está escoando quando o nível da água estiver a 16 cm do fundo do cone.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especificamente taxas relacionadas (derivadas). Vamos precisar relacionar o volume de água no cone com a altura da água e então encontrar a velocidade de escoamento.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar o volume de água no cone com a altura da água. A fórmula do volume de um cone é:
V = \frac{1}{3} \pi r^2 h
Onde:
  • V é o volume,
  • r é o raio da base do cone,
  • h é a altura.
No nosso caso, o cone tem altura total de 20 cm e diâmetro de 10 cm, então o raio R do cone completo é 5 cm.
Quando a água atinge uma altura h dentro do cone, ela forma um cone menor similar ao cone original. Como os cones são semelhantes, as proporções dos raios e das alturas são iguais. Então:
\frac{r}{h} = \frac{R}{H} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}
Portanto, o raio da água a uma altura h é:
r = \frac{h}{4}

Passo 3

Substituindo r = \frac{h}{4} na fórmula do volume, temos:
V = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{h}{4}\right)^2 h = \frac{1}{3} \pi \frac{h^3}{16} = \frac{\pi h^3}{48}
Então, o volume de água no cone em função da altura h é:
V = \frac{\pi h^3}{48}

Passo 4

Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo t para encontrar a relação entre as taxas de variação:
\frac{dV}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{\pi h^3}{48}\right) = \frac{\pi}{48} \cdot 3h^2 \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{16} \cdot \frac{dh}{dt}
Então:
\frac{dV}{dt} = \frac{\pi h^2}{16} \cdot \frac{dh}{dt}

Passo 5

Sabemos que:
  • A água está sendo despejada no recipiente a uma taxa de \frac{dV_{\text{entrada}}}{dt} = 8 \, \text{cm}^3/\text{min}.
  • A altura da água está aumentando a \frac{dh}{dt} = 0,1 \, \text{cm}/\text{min}.
Mas também existe um furo pelo qual a água está saindo. Então, podemos escrever:
\frac{dV}{dt} = \frac{dV_{\text{entrada}}}{dt} - \frac{dV_{\text{saida}}}{dt}
Substituindo na equação anterior:
\frac{\pi h^2}{16} \cdot \frac{dh}{dt} = \frac{dV_{\text{entrada}}}{dt} - \frac{dV_{\text{saida}}}{dt}

Passo 6

Queremos encontrar a velocidade com que a água está escoando, ou seja, \frac{dV_{\text{saida}}}{dt}, quando h = 16 \, \text{cm}.
Rearranjando a equação:
\frac{dV_{\text{saida}}}{dt} = \frac{dV_{\text{entrada}}}{dt} - \frac{\pi h^2}{16} \cdot \frac{dh}{dt}
Agora, substituímos os valores conhecidos:
\frac{dV_{\text{saida}}}{dt} = 8 - \frac{\pi \cdot (16)^2}{16} \cdot 0,1

Passo 7

Calculando passo a passo:
Primeiro, calcula h^2:
16^2 = 256
Agora, substitui na expressão:
\frac{dV_{\text{saida}}}{dt} = 8 - \frac{\pi \cdot 256}{16} \cdot 0,1
Simplifica \frac{256}{16} = 16:
\frac{dV_{\text{saida}}}{dt} = 8 - \pi \cdot 16 \cdot 0,1
Multiplica 16 \cdot 0,1 = 1,6:
\frac{dV_{\text{saida}}}{dt} = 8 - 1,6\pi

Passo 8

Agora, basta calcular o valor numérico:
1,6\pi \approx 1,6 \times 3,1416 \approx 5,026
Então:
\frac{dV_{\text{saida}}}{dt} \approx 8 - 5,026 = 2,974 \, \text{cm}^3/\text{min}

Resposta

A água está escoando a uma velocidade de aproximadamente 2,974 \, \text{cm}^3/\text{min} quando o nível da água está a 16 cm do fundo do cone.

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