Despeja-se água num recipiente de forma cônica, à razão de
. O cone tem 20 cm de profundidade e 10 cm de diâmetro em sua parte superior. Se existe um furo na base, e o nível da água está subindo à razão de
, com que velocidade a água estará escoando quando esta estiver a 16 cm do fundo?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que está rolando aqui! Temos um recipiente em forma de cone onde estamos despejando água a uma taxa de
. O cone tem 20 cm de altura e 10 cm de diâmetro na parte de cima. Além disso, tem um furo na base por onde a água está saindo. A água está subindo no cone a uma taxa de
(que é o mesmo que
). Nosso objetivo é descobrir com que velocidade a água está escoando quando o nível da água estiver a 16 cm do fundo do cone.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria dos cones e cálculo, especificamente taxas relacionadas (derivadas). Vamos precisar relacionar o volume de água no cone com a altura da água e então encontrar a velocidade de escoamento.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar o volume de água no cone com a altura da água. A fórmula do volume de um cone é:
Onde:
-
é o volume, -
é o raio da base do cone, -
é a altura.
No nosso caso, o cone tem altura total de 20 cm e diâmetro de 10 cm, então o raio
do cone completo é 5 cm.
Quando a água atinge uma altura
dentro do cone, ela forma um cone menor similar ao cone original. Como os cones são semelhantes, as proporções dos raios e das alturas são iguais. Então:
Portanto, o raio da água a uma altura
é:
Passo 3
Substituindo
na fórmula do volume, temos:
Então, o volume de água no cone em função da altura
é:
Passo 4
Agora, vamos diferenciar ambos os lados da equação em relação ao tempo
para encontrar a relação entre as taxas de variação:
Então:
Passo 5
Sabemos que:
- A água está sendo despejada no recipiente a uma taxa de
. - A altura da água está aumentando a
.
Mas também existe um furo pelo qual a água está saindo. Então, podemos escrever:
Substituindo na equação anterior:
Passo 6
Queremos encontrar a velocidade com que a água está escoando, ou seja,
, quando
.
Rearranjando a equação:
Agora, substituímos os valores conhecidos:
Passo 7
Calculando passo a passo:
Primeiro, calcula
:
Agora, substitui na expressão:
Simplifica
:
Multiplica
:
Passo 8
Agora, basta calcular o valor numérico:
Então:
Resposta
A água está escoando a uma velocidade de aproximadamente
quando o nível da água está a 16 cm do fundo do cone.