Um balão de ar quente está subindo verticalmente a uma velocidade que varia em função do tempo v(t), dada pela equação:
v(t)=5 t^2-30 t+50,
onde v(t) está em metros por segundo (m / s) e t em segundos (s).
Determine o instante em que o balão atinge sua velocidade mínima. Qual é essa velocidade mínima?

Passo 1

O enunciado dá a velocidade vertical do balão em função do tempo por uma parábola
v(t)=5,t^2-30,t+50,
e pede o instante e o valor da velocidade mínima. Esse problema envolve o conceito de vértice de uma função quadrática com coeficiente de t^2 positivo, cuja imagem no vértice é o valor mínimo.

Passo 2

Na forma geral a,t^2+b,t+c, identificamos
a=5, b=-30, c=50

Passo 3

O instante em que a parábola atinge o mínimo é dado por
tmin=-b2,a=--302cdot5=3010=3,
ou seja, tmin=3 s.

Passo 4

Substituindo na expressão de v(t), obtemos
v(3)=5cdot3^2-30cdot3+50=45-90+50=5,
logo a velocidade mínima é vmin=5 m/s.

Resposta

O balão atinge a velocidade mínima no instante t=3 s e essa velocidade é 5 m/s.

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