Encontre a segunda derivada da função h(x)=ln (x^2+1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a segunda derivada da função h(x) = ln(x^2 + 1) . Isso cai no conteúdo de Cálculo Diferencial, especificamente em derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a regra da cadeia e como derivar a função logarítmica.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a primeira derivada da função h(x) . A função que temos é uma composição de funções, então usamos a regra da cadeia. A derivada de ln(u) em relação a x é u'u , onde u = x^2 + 1 .
Então, calculando u' :
u = x^2 + 1 u' = 2x
Agora, aplicando a regra da cadeia:
h'(x) = u'u = 2xx^2 + 1

Passo 3

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, ou seja, a derivada de h'(x) . Temos:
h'(x) = 2xx^2 + 1
Para derivar essa fração, vamos usar a regra do quociente, que diz que se f(x) = g(x)k(x) , então:
f'(x) = g'(x)k(x) - g(x)k'(x)[k(x)]^2
Aplicando isso a h'(x) :
g(x) = 2x Rightarrow g'(x) = 2 k(x) = x^2 + 1 Rightarrow k'(x) = 2x
Agora, substituindo na fórmula da regra do quociente:
h''(x) = 2(x^2 + 1) - 2x(2x)(x^2 + 1)^2 = 2x^2 + 2 - 4x^2(x^2 + 1)^2 = -2x^2 + 2(x^2 + 1)^2 = 2(1 - x^2)(x^2 + 1)^2

Resposta

A segunda derivada da função é:
h''(x) = 2(1 - x^2)(x^2 + 1)^2

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