Considere a equação diferencial
(x^4 y-2 x^2) d x+(x^55+y^2) d y=0
Responda:
Tal equação diferencial é exata?

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
l(x^4y - 2x^2r),dx + l(tfracx^55 + y^2r),dy = 0
e pergunta se ela é exata. O conteúdo aqui é o de equações diferenciais exatas, cujo critério de exatidão é
partial Mpartial y ;=;partial Npartial x,
onde M(x,y) é o coeficiente de dx e N(x,y) o coeficiente de dy.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = x^4y - 2x^2, N(x,y) = x^55 + y^2

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de M em relação a y:
partial Mpartial y = partialpartial yl(x^4y - 2x^2r) = x^4

Passo 4

Calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
partial Npartial x = partialpartial xl(tfracx^55 + y^2r) = x^4

Passo 5

Como
partial Mpartial y = x^4 e partial Npartial x = x^4,
temos partial M/partial y = partial N/partial x em todo ponto do domínio. Logo, a equação é exata.

Resposta

Sim, a equação diferencial é exata.

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