Um reservatório cilíndrico, com base circular de raio igual a 2 m e com 5 m de altura, está com água a
de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 12 minutos, a água no reservatório cai para 50% de sua capacidade, determine:
O tempo necessário para que o reservatório fique vazio.
O tempo necessário para que o reservatório fique vazio.
Passo 1
O enunciado descreve um reservatório cilíndrico de raio
m e altura
m, com volume total
Inicialmente há
desse volume, isto é
. Após
minutos, o volume cai para
, isto é
.
Vamos usar a lei de Torricelli, que leva a uma equação diferencial do tipo
Vamos usar a lei de Torricelli, que leva a uma equação diferencial do tipo
resolver esse modelo e encontrar o tempo em que
.
Passo 2
Partindo de
separar variáveis:
Integrando ambos os lados, obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 3
Usar a condição inicial
,
. Então
Passo 4
Usar a condição em
min:
. Da fórmula integrada
logo
Passo 5
O reservat’orio fica vazio quando
, isto 'e
. Da f’ormula
vemos que em
Substituindo
e simplificando, chega-se a