Um reservatório cilíndrico, com base circular de raio igual a 2 m e com 5 m de altura, está com água a 80 % de sua capacidade. Se fizermos um furo no fundo e constatarmos que, após 12 minutos, a água no reservatório cai para 50% de sua capacidade, determine:
O tempo necessário para que o reservatório fique vazio.

Passo 1

O enunciado descreve um reservatório cilíndrico de raio 2 m e altura 5 m, com volume total
Vrm tot = pi r^2 h = picdot 2^2cdot 5 = 20pi (m^3)
Inicialmente há 80% desse volume, isto é V(0)=0,8cdot20pi=16pi. Após 12 minutos, o volume cai para 50%, isto é V(12)=10pi.
Vamos usar a lei de Torricelli, que leva a uma equação diferencial do tipo
dVdt = -k,raizV,
resolver esse modelo e encontrar o tempo em que V=0.

Passo 2

Partindo de
dVdt = -kraizV,
separar variáveis:
dVraizV = -k,dt
Integrando ambos os lados, obtemos
2raizV = -k,t + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Usar a condição inicial t=0, V(0)=16pi. Então
2raiz16pi = C Longrightarrow C = 2cdot 4raizpi = 8raizpi

Passo 4

Usar a condição em t=12 min: V(12)=10pi. Da fórmula integrada
2raiz10pi = -kcdot 12 + 8raizpi,
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-12,k = 2raiz10pi - 8raizpi Longrightarrow k = 8raizpi - 2raiz10pi12

Passo 5

O reservat’orio fica vazio quando V=0, isto 'e raizV=0. Da f’ormula
2raizV = -k,t + 8raizpi,
vemos que em V=0
0 = -k,trm vazio + 8raizpi Longrightarrow trm vazio = 8raizpik
Substituindo k e simplificando, chega-se a
trm vazio = 32 + 8raiz10(minutos) approx 57,3 min

Resposta

trm vazio = 32 + 8raiz10 min approx 57,3 min

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