Para um determinado experimento óptico na física, uma superfície refletora é representada pela equação:
y=2 Lpi sin (pi xL), 0 <= x <= L
Observa-se que um raio incidiu horizontalmente e refletiu verticalmente. Quais as coordenadas (x, y) de incidência do raio?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície refletora descrita pela equação:
y = 2Lpi sin(pi xL), 0 <= x <= L
O enunciado diz que um raio de luz incide horizontalmente e reflete verticalmente nessa superfície. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas (x, y) onde isso acontece. Vamos usar conceitos de reflexão da luz e derivadas para encontrar a resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o raio incidir horizontalmente e refletir verticalmente. Incidir horizontalmente quer dizer que o raio chega na superfície com direção paralela ao eixo x. Refletir verticalmente significa que, após a reflexão, a direção do raio é paralela ao eixo y.
Para que isso aconteça, a superfície precisa ter uma inclinação específica no ponto de incidência. Vamos descobrir essa inclinação usando derivadas.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da função que descreve a superfície para obter a inclinação da tangente na superfície em qualquer ponto x:
y = 2Lpi sin(pi xL)
A derivada de y em relação a x é:
dydx = 2Lpi cdot piL cos(pi xL) = 2 cos(pi xL)

Passo 4

Sabemos que a direção do raio refletido depende da inclinação da tangente na superfície. Para que a luz que incide horizontalmente seja refletida verticalmente, a tangente na superfície nesse ponto deve ter uma inclinação de -1 (ou seja, um ângulo de 45 graus). Portanto, igualamos a derivada a -1:
2 cos(pi xL) = -1

Passo 5

Resolvendo para cos(pi xL):
cos(pi xL) = -12
Sabemos que cos(2pi3) = -12. Então:
pi xL = 2pi3 Rightarrow x = 2L3

Passo 6

Agora, vamos encontrar o valor de y correspondente a x = 2L3 usando a equação da superfície:
y = 2Lpi sin(pi cdot 2L3L) = 2Lpi sin(2pi3)
Sabemos que sin(2pi3) = raiz32. Então:
y = 2Lpi cdot raiz32 = L raiz3pi

Resposta

As coordenadas de incidência do raio são (dfrac2L3, dfracL raiz3pi).

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