Para um determinado experimento óptico na física, uma superfície refletora é representada pela equação:
Observa-se que um raio incidiu horizontalmente e refletiu verticalmente. Quais as coordenadas
de incidência do raio?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma superfície refletora descrita pela equação:
O enunciado diz que um raio de luz incide horizontalmente e reflete verticalmente nessa superfície. Nosso objetivo é encontrar as coordenadas
onde isso acontece. Vamos usar conceitos de reflexão da luz e derivadas para encontrar a resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa o raio incidir horizontalmente e refletir verticalmente. Incidir horizontalmente quer dizer que o raio chega na superfície com direção paralela ao eixo
. Refletir verticalmente significa que, após a reflexão, a direção do raio é paralela ao eixo
.
Para que isso aconteça, a superfície precisa ter uma inclinação específica no ponto de incidência. Vamos descobrir essa inclinação usando derivadas.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada da função que descreve a superfície para obter a inclinação da tangente na superfície em qualquer ponto
:
A derivada de
em relação a
é:
Passo 4
Sabemos que a direção do raio refletido depende da inclinação da tangente na superfície. Para que a luz que incide horizontalmente seja refletida verticalmente, a tangente na superfície nesse ponto deve ter uma inclinação de
(ou seja, um ângulo de 45 graus). Portanto, igualamos a derivada a
:
Passo 5
Resolvendo para
:
Sabemos que
. Então:
Passo 6
Agora, vamos encontrar o valor de
correspondente a
usando a equação da superfície:
Sabemos que
. Então:
Resposta
As coordenadas de incidência do raio são
.