Um balão esférico de borracha carrega uma carga total Q distribuída uniformemente em sua superfície. Em t=0, o raio do balão é igual a R. O balão é então inflado lentamente até que seu raio atinja 2 R no instante t=t_{1}. Assuma que o raio do balão aumenta uniformemente com o tempo. Determine o campo elétrico devido a essa carga em função do tempo:
(b) (\mathbf{1 , 2 5}) em uma superfície de raio 2 R (sobre a qual, em t=t_{1}, está o balão)

Passo 1

O enunciado descreve um balão esférico condutor de raio variável a(t), que em t=0 vale a(0)=R e cresce uniformemente até a(t_{1})=2R. A carga total é Q, distribuída uniformemente sobre a superfície. Precisamos achar o campo elétrico no ponto fixo de distância r=2R do centro, como função do tempo.

Passo 2

Para uma casca esférica com carga total Q uniformemente distribuída, o campo no ponto externo de raio r>a(t) é igual ao de uma carga pontual Q no centro. Pela lei de Gauss,
E(r,t)\,4\pi r^{2} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r,t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{r^{2}}.

Passo 3

No nosso caso queremos r=2R. Note que enquanto o balão infla de R a 2R, temos sempre a(t)\le2R, logo o ponto r=2R está sempre na região externa. Substituindo r=2R,
E(2R,t) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Q}{(2R)^{2}} = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_{0}R^{2}}.

Passo 4

Como a carga total Q é constante e a expressão acima não depende de a(t) para r> a(t), o campo em r=2R permanece inalterado durante todo o processo de inflação. Portanto não há dependência temporal.

Resposta

\mathbf{E}(2R,t) = \frac{Q}{16\pi\varepsilon_{0}R^{2}}\;\hat{r}, \quad 0 \le t \le t_{1},
isto é, é constante no tempo.

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