Questão 4. Uma esfera isolante maciça de raio R tem uma densidade volumétrica de carga dada por \rho=A r^{2}, em que A é uma constante positiva e r é uma distância radial medida a partir do centro da esfera. (a) (\mathbf{1 , 2 5}) Determine o campo elétrico em um ponto localizado a uma distância r \leq R. (b) (\mathbf{1 , 2 5}) Uma casca esférica condutora, descarregada, de raio interno R_{1} e raio externo R_{2} (com R_{2}>R_{1}>R ), está posicionada de maneira a envolver a esfera do item anterior, estando concêntrica à esfera maciça. Determine a carga por unidade de área induzida na superfície externa da casca esférica.
Observação: as respostas para as questões literais devem ser apresentadas exclusivamente em termos de grandezas fornecidas nos enunciados e/ou figuras, incluindo, eventualmente, constantes como \pi e \varepsilon_{0}.

Passo 1

O enunciado descreve uma esfera isolante maciça de raio R com densidade volumétrica de carga \rho = A r^2, onde A é constante e r é a distância ao centro. Na parte (a) queremos o campo elétrico para r\le R e, na parte (b), uma casca condutora neutra de raios interno R_1 e externo R_2 envolve essa esfera, e precisamos achar a densidade de carga induzida na superfície externa da casca. Usaremos a lei de Gauss e o fato de que o campo no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero.

Passo 2

Para r\le R, calculamos a carga total contida numa esfera de raio r usando
Q_{\rm encl}(r) \;=\;\int_{0}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}\,dr' \;=\;4\pi A\int_{0}^{r}r'^{4}\,dr' \;=\;\frac{4\pi A\,r^{5}}{5}.

Passo 3

Pela lei de Gauss, o fluxo elétrico numa superfície esférica de raio r é
\Phi = E(r)\,4\pi r^{2}
e isso vale \Phi=Q_{\rm encl}(r)/\varepsilon_{0}. Logo
E(r)\,4\pi r^{2} \;=\;\frac{1}{\varepsilon_{0}}\frac{4\pi A\,r^{5}}{5} \;\Longrightarrow\; E(r) \;=\;\frac{A\,r^{3}}{5\varepsilon_{0}}\,,
no sentido radial \hat r.

Passo 4

A carga total da esfera isolante é Q_{\rm tot}=Q_{\rm encl}(R)=4\pi A R^{5}/5. A casca condutora neutra, em equilíbrio, induz carga -Q_{\rm tot} em sua superfície interna e, para conservar carga zero, induz +Q_{\rm tot} na superfície externa.

Passo 5

A densidade de carga induzida na face externa (raio R_{2}) é
\sigma_{\rm ext} =\frac{Q_{\rm tot}}{4\pi R_{2}^{2}} =\frac{1}{4\pi R_{2}^{2}}\;\frac{4\pi A\,R^{5}}{5} =\frac{A\,R^{5}}{5\,R_{2}^{2}}.

Resposta

(a) Para r\le R:
E(r)=\frac{A\,r^{3}}{5\varepsilon_{0}}\;\hat r.
(b) Densidade de carga na superfície externa da casca:
\sigma_{\rm ext}=\frac{A\,R^{5}}{5\,R_{2}^{2}}.

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