Questão 4. Uma esfera isolante maciça de raio
tem uma densidade volumétrica de carga dada por
, em que
é uma constante positiva e
é uma distância radial medida a partir do centro da esfera. (a)
Determine o campo elétrico em um ponto localizado a uma distância
. (b)
Uma casca esférica condutora, descarregada, de raio interno
e raio externo
(com
), está posicionada de maneira a envolver a esfera do item anterior, estando concêntrica à esfera maciça. Determine a carga por unidade de área induzida na superfície externa da casca esférica.
Observação: as respostas para as questões literais devem ser apresentadas exclusivamente em termos de grandezas fornecidas nos enunciados e/ou figuras, incluindo, eventualmente, constantes como
e
.
Passo 1
O enunciado descreve uma esfera isolante maciça de raio
com densidade volumétrica de carga
, onde
é constante e
é a distância ao centro. Na parte (a) queremos o campo elétrico para
e, na parte (b), uma casca condutora neutra de raios interno
e externo
envolve essa esfera, e precisamos achar a densidade de carga induzida na superfície externa da casca. Usaremos a lei de Gauss e o fato de que o campo no interior de um condutor em equilíbrio eletrostático é zero.
Passo 2
Para
, calculamos a carga total contida numa esfera de raio
usando
Passo 3
Pela lei de Gauss, o fluxo elétrico numa superfície esférica de raio
é
e isso vale
. Logo
no sentido radial
.
Passo 4
A carga total da esfera isolante é
. A casca condutora neutra, em equilíbrio, induz carga
em sua superfície interna e, para conservar carga zero, induz
na superfície externa.
Passo 5
A densidade de carga induzida na face externa (raio
) é
Resposta
(a) Para
:
(b) Densidade de carga na superfície externa da casca: