Um balão esférico cheio de hélio possui um raio R de 12,0 m. O balão (vazio), os cabos e o cesto possuem uma massa m de 196 Kg . Qual a carga máxima M que o balão pode sustentar enquanto ele flutua a uma altitude na qual a massa específica do Hélio é de 0,160 Kg / m^3 e a massa específica do ar é de 1,25 Kg / m^3 ? Suponha que o volume de ar deslocado pela carga, cabos de sustentação e cesto seja desprezível. (R.: ~7693 Kg)

Passo 1

O problema dá um balão esférico de raio R = 12,0 m cheio de hélio com densidade do ar rhoar = 1,25 kg/m^3, densidade do hélio rhoHe = 0,160 kg/m^3 e massa do envelope, cabos e cesto m = 196 kg. Precisamos usar o princípio de Arquimedes, que diz que o empuxo é igual ao peso do fluido deslocado, e equilibrar as forças para encontrar a carga M.

Passo 2

Calcular o volume do balão pela fórmula do volume de uma esfera:
V = 43 pi R^3
Substituindo R = 12,0 m:
V = 43pi(12,0)^3 approx 7238,2 m^3.

Passo 3

Aplicar o princípio de Arquimedes. O empuxo para cima é
Fe = rhoar V g
e o peso total para baixo é a soma do peso do hélio, do envelope, cabos, cesto e da carga:
P = (rhoHe V + m + M)g.
No equilíbrio Fe = P.

Passo 4

Cancelar g dos dois lados e isolar M:
rhoar V = rhoHe V + m + M implies M = (rhoar - rhoHe)V - m.
Substituindo os valores:
(1,25 - 0,160) times 7238,2 - 196 approx 7693 kg.

Resposta

M \approx 7693\ \mathrm{kg}

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