Um balão esférico cheio de hélio tem um raio R=12 \mathrm{~m}. O balão, os cabos de sustentação e a cesta tem massa \mathrm{m}=190 \mathrm{~kg}. Qual é a carga máxima M que o balão pode carregar. Considere \rho_{\text {hélio }}=0,16 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}é e \rho_{\text {ar }}=1,25 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá um balão esférico de raio R=12\:\mathrm{m} contendo hélio, cujas densidades são \rho_{\rm hélio}=0,16\:\mathrm{kg/m^3}é e \rho_{\rm ar}=1,25\:\mathrm{kg/m^3}. O conjunto balão + cabos + cesta tem massa m=190\:\mathrm{kg}. Precisamos achar a massa máxima M (carga útil) que o balão pode sustentar em equilíbrio. O conteúdo é o Princípio de Arquimedes (empuxo) e equilíbrio de forças peso × gravidade.

Passo 2

Calcular o volume do balão, que é uma esfera de raio R.
V = \frac{4}{3}\,\pi\,R^3 = \frac{4}{3}\,\pi\,(12)^3 = 2304\,\pi\:\mathrm{m^3}.

Passo 3

Pelo Princípio de Arquimedes, o empuxo é igual ao peso do ar deslocado:
F_{\rm empuxo} = \rho_{\rm ar}\,V\,g.
As forças de peso que agem para baixo são o peso do hélio, do balã o+cesta e da carga M:
F_{\rm peso} = \bigl(\rho_{\rm hélio}\,V + m + M\bigr)\,g.é
Em equilíbrio F_{\rm empuxo}=F_{\rm peso}.

Passo 4

Igualando e cancelando g em ambos os lados, obtemos
\rho_{\rm ar}\,V = \rho_{\rm hélio}\,V + m + M \quad\Longrightarrow\quad M = (\rho_{\rm ar}-\rho_{\rm hélio})\,V \;-\; m.éé

Passo 5

Substituindo \rho_{\rm ar}=1,25, \rho_{\rm hélio}=0,16é e V=2304\pi:
\rho_{\rm ar}-\rho_{\rm hélio}=1,25-0,16=1,09\:\mathrm{kg/m^3},é
(\rho_{\rm ar}-\rho_{\rm hélio})\,V =1,09\times2304\,\pi\approx7889,7\:\mathrm{kg},é
M\approx7889,7 - 190 = 7699,7\:\mathrm{kg}.

Resposta

A carga máxima que o balão pode carregar é aproximadamente
M \approx 7{,}7\times 10^3\:\mathrm{kg}.

Exercícios relacionados