Um balão esférico de raio R contendo um gás de densidade \rho_{g} é transportado por um caminhão e para evitar que o balão se choque com as paredes, ele é amarrado com um cabo ao assoalho do caminhão e então é preenchido com um líquido de densidade \rho_{L}, maior que a do balão. O cabo possui uma tensão limite T_{m a x}.
( 1,0 ponto) a. determine a tensão do cabo quando o caminhão está em repouso;

Passo 1

O enunciado descreve um balão esférico de raio R contendo um gás de densidade \rho_{g}. O balão está totalmente submerso em um líquido de densidade \rho_{L}>\rho_{g} e preso ao assoalho por um cabo. Queremos a tensão do cabo em repouso, usando o princípio de Arquimedes (força de empuxo) e o peso do gás.

Passo 2

Calcule o volume do balão, que vale
V = \frac{4}{3}\pi R^{3}.

Passo 3

O empuxo sobre o balão é igual ao peso do líquido deslocado, ou seja
F_{\text{empuxo}} = \rho_{L}\,V\,g.

Passo 4

O peso do gás dentro do balão é
P_{\text{gás}} = \rho_{g}\,V\,g.á

Passo 5

Em equilíbrio estático, a diferença entre empuxo e peso do gás é sustentada pela tensão T do cabo:
T = F_{\text{empuxo}} - P_{\text{gás}}.á

Passo 6

Substituindo os valores de F_{\text{empuxo}} e P_{\text{gás}}á:
T = \rho_{L}Vg - \rho_{g}Vg = (\rho_{L}-\rho_{g})\,V\,g.

Resposta

T = (\rho_{L}-\rho_{g})\,\frac{4}{3}\pi R^{3}\,g.

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