Uma haste delgada e homogênea, de massa M e comprimento L , tem a liberdade de girar em torno de um eixo, fixo no referencial inercial adotado, que passa por um ponto a uma distância de \mathrm{L} / 4 de sua extremidade direita (ver diagrama). Nessa extremidade, a mais próxima do eixo, está presa uma massa de valor \mathrm{M} / 3, de dimensões desprezíveis, que gira solidariamente com a haste. O conjunto apoia-se sobre uma superfície horizontal, e a rotação ocorre sem atrito. Inicialmente, o sistema (haste + massa) gira com velocidade angular de módulo \omega_{0}, no sentido horário. Passam a atuar, então, duas forças de módulos constantes, F_{1} e F_{2}, em direções e sentidos invariáveis em relação à haste, conforme o que se exibe no diagrama ( F_{1} perpendicular à haste). Sabendo que o momento de inércia de uma haste delgada e homogênea em relação a um eixo que passa pelo seu centro de massa e lhe é perpendicular vale \mathrm{ML}^{2} / 12, apresente:
o vetor momento angular inicial da massa \mathrm{M} / 3, \ell_{0}, calculado em relação ao ponto (fixo) da haste que pertence ao eixo de rotação, expresso em função de \mathrm{M}, \mathrm{L}, \omega_{0},

Passo 1

O enunciado descreve uma haste homogênea de massa M e comprimento L, pivoteada num ponto a uma distância L/4 da sua extremidade direita, onde está presa uma massa pontual m = M/3. O sistema gira num plano horizontal com velocidade angular de módulo \omega_{0}, no sentido horário. Queremos o vetor momento angular inicial \boldsymbol{\ell}_{0} dessa massa M/3 em relação ao pivô.

Passo 2

A posição da massa em relação ao pivô tem módulo
r = \frac{L}{4}\,.
Num movimento circular uniforme, a velocidade é \mathbf{v} = \boldsymbol{\omega}_{0}\times\mathbf{r} e o momento angular é
\boldsymbol{\ell}_{0} \;=\;\mathbf{r}\times m\,\mathbf{v}\,.

Passo 3

O módulo de \boldsymbol{\ell}_{0} fica
\ell_{0} = m\,r^{2}\,\omega_{0}
Substituindo m = \dfrac{M}{3} e r = \dfrac{L}{4},
\ell_{0} = \frac{M}{3}\Bigl(\frac{L}{4}\Bigr)^{2}\omega_{0} = \frac{M\,L^{2}\,\omega_{0}}{48}\,.

Passo 4

Como a rotação é no sentido horário vista de cima, o vetor momento angular aponta para baixo (no eixo -\hat{z}).

Resposta

\boldsymbol{\ell}_{0} = -\,\frac{M\,L^{2}\,\omega_{0}}{48}\,\hat{z}\,.

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