Um sistema cilindro-pistão de volume V contém em seu interior uma mistura de gases ideais composta por n_{1} moles de gás monoatômico e n_{2} moles de gés diatómico. Inicialmente o pistão, que é muito fino e veda perfeitamente o sistema, está no topo do cilindro e a mistura está a uma temperatura T_{0}. Entăo um agente externo realiza uma compressā̃o muito rápida (o suficiente para que a quantidade de calor trocada neste intervalo de tempo seja desprezivel quando comparada ao trabalho realizado para comprimir o gás) que reduz o volume do gás a 1 / 10 de seu volume inicial. De acordo com a situação enunciada, determine:
(0.5 ponto) (b) a temperatura do sistema ao fim da compressão;
( 0,5 ponto) (c) quanto trabalho a força externa realiza para realizar a compressiō;
(1,0 ponto) (a) C_{\varepsilon} e C_{p} desta mistura gasosa;

Passo 1

O enunciado descreve um gás ideal misto, com n_{1} mols monoatômicos e n_{2} mols diatômicos, inicialmente em V_{0}=V e temperatura T_{0}. O pistão comprime adiabaticamente (troca de calor desprezível) até V_{1}=V_{0}/10. Precisamos de:
  • (a) as capacidades térmicas extensivas C_{\varepsilon}\equiv C_{v} e C_{p} da mistura;
  • (b) a temperatura final T_{1};
  • (c) o trabalho realizado pela força externa W_{\rm ext}.

Passo 2

As capacidades térmicas extensivas de uma mistura ideal somam as parcelas de cada componente:
C_{v} = n_{1}\,\tfrac{3}{2}R \;+\; n_{2}\,\tfrac{5}{2}R = \bigl(\tfrac{3}{2}n_{1} + \tfrac{5}{2}n_{2}\bigr)R
C_{p} = C_{v} + (n_{1}+n_{2})R = \Bigl(\tfrac{3}{2}n_{1} + \tfrac{5}{2}n_{2} + n_{1} + n_{2}\Bigr)R = \bigl(\tfrac{5}{2}n_{1} + \tfrac{7}{2}n_{2}\bigr)R

Passo 3

A razão adiabática da mistura é
\gamma = \frac{C_{p}}{C_{v}} = \frac{\tfrac{5}{2}n_{1} + \tfrac{7}{2}n_{2}}{\tfrac{3}{2}n_{1} + \tfrac{5}{2}n_{2}} = \frac{5n_{1} + 7n_{2}}{3n_{1} + 5n_{2}}

Passo 4

Em processo adiabático reversível de gás ideal vale
T\,V^{\gamma-1}=\text{const}.
Logo
T_{1} = T_{0}\,\Bigl(\frac{V_{0}}{V_{1}}\Bigr)^{\gamma-1} = T_{0}\,10^{\,\gamma-1}

Passo 5

Pela primeira lei, com Q=0, \Delta U = -W_{\rm gas} e o trabalho da força externa é W_{\rm ext}=+\,\Delta U. Como \Delta U=C_{v}(T_{1}-T_{0}), temos
W_{\rm ext} = \bigl(\tfrac{3}{2}n_{1} + \tfrac{5}{2}n_{2}\bigr)R\,(T_{1}-T_{0})

Resposta

(b) \displaystyle T_{1}=T_{0}\,10^{\,\frac{5n_{1}+7n_{2}}{3n_{1}+5n_{2}}-1}
(c) \displaystyle W_{\rm ext}=\bigl(\tfrac{3}{2}n_{1}+\tfrac{5}{2}n_{2}\bigr)R\bigl(T_{0}10^{\,\frac{5n_{1}+7n_{2}}{3n_{1}+5n_{2}}-1}-T_{0}\bigr)
(a) \displaystyle C_{\varepsilon}=C_{v}=\bigl(\tfrac{3}{2}n_{1}+\tfrac{5}{2}n_{2}\bigr)R,\quad C_{p}=\bigl(\tfrac{5}{2}n_{1}+\tfrac{7}{2}n_{2}\bigr)R

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