1^{\text {a }} questão (valor 2,0 pontos) Em cada um dos itens, classifique a sentença em verdadeira ou falsa. No caso de sentença ser verdadeira, prove, e no caso de sentença falsa, apresente um contra exemplo justificando:
( ) Toda sequência convergente é monótona;
( ) Toda sequência convergente é limitada;
( ) Toda sequência limitada é convergente;
( ) Toda sequência que possui uma subsequência convergente é convergente.

Passo 1

Vou deixar bem claro o que o enunciado pede e quais são as quatro sentenças a classificar (cada uma como verdadeira ou falsa). O enunciado dá uma sequência arbitrária e pede para, em cada item, decidir se a afirmação é verdadeira; se for, provar; se for falsa, dar um contraexemplo justificando.
As sentenças a classificar são:
  1. ( ) Toda sequência convergente é monótona.
  2. ( ) Toda sequência convergente é limitada.
  3. ( ) Toda sequência limitada é convergente.
  4. ( ) Toda sequência que possui uma subsequência convergente é convergente.

Passo 2

Antes de atacar cada item, vamos revisar e entender direitinho os conceitos que vamos usar (com exemplos simples). Isso ajuda a fazer provas e construir contraexemplos.
Definição de convergência: dizer que a sequência (a_n) converge para L significa:
\text{para todo }\varepsilon>0\text{ existe }N\in\mathbb{N}\text{ tal que }n\ge N\Rightarrow |a_n-L|<\varepsilon.
Isto quer dizer que os termos a_n ficam arbitrariamente próximos de L quando n fica grande.
Definição de limitada: (a_n) é limitada se existe M>0 tal que
|a_n|\le M\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Definição de monotonia: (a_n) é monótona crescente se
a_{n+1}\ge a_n\quad\text{para todo }n,
e monótona decrescente se
a_{n+1}\le a_n\quad\text{para todo }n.
Quando se diz apenas “monótona” significa que é crescente ou decrescente.
Definição de subsequência: uma subsequência de (a_n) é uma sequência (a_{n_k}) onde n_1<n_2<\cdots são índices crescentes. Uma subsequência pode convergir (possivelmente para outro limite).
Exemplo rápido para fixar a intuição: a sequência \left(\frac{1}{n}\right) converge para 0 e é monótona decrescente e limitada. Já a sequência \left((-1)^n\right) é limitada, não converge, e não é monótona.

Passo 3

Item 1: “Toda sequência convergente é monótona.”
Vamos testar se isso é sempre verdade. Ideia: procurar uma sequência que converge, mas que oscile de modo a não ser nem crescente nem decrescente.
Contraexemplo proposto:
a_n = (-1)^n\frac{1}{n}.
Primeiro mostro que (a_n) converge; depois mostro que não é monótona.
Prova de convergência: observe que
|a_n|=\left|\frac{(-1)^n}{n}\right|=\frac{1}{n}.
Como \frac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty, pela desigualdade triangular ou pelo teorema do sanduíche, temos a_n\to 0. Formalmente: para dado \varepsilon>0 escolha N tal que \frac{1}{N}<\varepsilon; então, para n\ge N, |a_n-0|=|a_n|=\frac{1}{n}\le\frac{1}{N}<\varepsilon. Logo (a_n) converge para 0.
Prova de não monotonicidade: calcule alguns termos:
a_1=-1,\quad a_2=\tfrac{1}{2},\quad a_3=-\tfrac{1}{3},\quad a_4=\tfrac{1}{4},\dots
Note que, para n ímpar, a_n<0 e a_{n+1}>0, logo a_{n+1}>a_n nesses índices. Para n par, a_n>0 e a_{n+1}<0, logo a_{n+1}<a_n nesses índices. Assim há índices onde a sequência aumenta e índices onde ela diminui; portanto não é toda crescente nem toda decrescente. Concluímos que (a_n) converge mas não é monótona. Logo a afirmação do item 1 é falsa.

Passo 4

Comentário didático sobre o item 1: a convergência impõe condição assintótica (comportamento para n grande), mas não impõe que os termos sigam um padrão global (como sempre subir ou sempre descer). Sequências convergentes podem oscilar cada vez menos (como o exemplo (-1)^n/n) e ainda assim convergir.

Passo 5

Item 2: “Toda sequência convergente é limitada.”
Aqui a afirmação é verdadeira. Vou provar de maneira clássica e muito usada em provas de análise.
Prova: suponha que (a_n) converge para L. Escolha \varepsilon=1. Pela definição de convergência existe N tal que, para todo n\ge N,
|a_n-L|<1.
Então, para n\ge N,
|a_n|\le |L|+|a_n-L| < |L|+1.
Agora os termos finitários a_1,\dots,a_{N-1} formam um conjunto finito, logo suas magnitudes têm máximo finito; seja
M_1=\max\{\,|a_1|,\dots,|a_{N-1}|\,\}.
Defina
M=\max\{M_1,\,|L|+1\}.
Então para todo n temos |a_n|\le M. Logo (a_n) é limitada.
Comentário prático: na prova acima a ideia é que a convergência controla os termos “a partir de certo índice” e os poucos termos iniciais são finitos em número; assim podemos escolher um M que funcione para todos. Esse argumento é padrão e útil na prova de muitos teoremas.

Passo 6

Item 3: “Toda sequência limitada é convergente.”
Essa afirmação é falsa. Ser limitada significa que os termos ficam presos num intervalo, mas isso não garante que os termos tenham um único limite.
Contraexemplo clássico:
a_n = (-1)^n.
Aqui a_n só toma os valores 1 e -1, então claramente |a_n|\le 1 para todo n; portanto a sequência é limitada. Contudo ela não converge. Justificação: suponha, por absurdo, que a_n\to L. Considere a subsequência dos índices pares: (a_{2k}) é constantemente 1, então a_{2k}\to 1. Pela unicidade do limite, se a_n\to L então toda subsequência também converge para L, portanto L=1. Analogamente, a subsequência dos índices ímpares (a_{2k+1}) é constantemente -1, logo essa subsequência converge para -1, então teríamos L=-1. Isso é contraditório, logo (a_n) não converge. Portanto sequência limitada mas não convergente existe; a afirmação é falsa.
Comentário didático: a propriedade correta e importante é o teorema de Bolzano–Weierstrass (para \mathbb{R}): toda sequência limitada possui pelo menos uma subsequência convergente. Isso não diz que a sequência inteira converge; só garante existência de subsequência convergente.

Passo 7

Item 4: “Toda sequência que possui uma subsequência convergente é convergente.”
Também é falsa. Ter uma subsequência que converge significa apenas que alguns termos (com índices crescendo) se aproximam de um valor, mas outros termos da sequência podem ir para outro valor ou oscilar.
Contraexemplo (bem simples, reutilizando um caso já citado):
a_n = (-1)^n.
A sequência dos termos pares (a_{2k}) é identicamente 1, logo é uma subsequência convergente com limite 1. Apesar disso, a sequência inteira (a_n) não converge (mesma justificativa do item 3): existe outra subsequência (os ímpares) que converge para -1, limites diferentes implicam que a sequência global não tem limite. Portanto ter uma subsequência convergente não garante a convergência da sequência inteira; a afirmação é falsa.

Passo 8

Comentário de síntese e dicas para a prova / prova escrita na prova:
  • Para mostrar que uma afirmação sobre “toda sequência convergente” é verdadeira, use diretamente a definição de convergência e derive a propriedade desejada (como em Item 2).
  • Para refutar uma afirmação, é suficiente apresentar um contraexemplo concreto e justificar por que ele satisfaz as hipóteses e viola a conclusão (como em Items 1, 3 e 4).
  • Lembre-se do teorema de Bolzano–Weierstrass: toda sequência limitada em \mathbb{R} tem subsequência convergente. Isso ajuda a construir contraexemplos e a entender a relação entre limites, subsequências e limitabilidade.

Resposta

Falsa
Verdadeira
Falsa
Falsa

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