Um balão meteorológico em repouso à determinada altitude explode, partindo-se em três pedaços. Dois pedaços, que têm a mesma massa, voam em direções perpendiculares entre si, nos eixos x>0 e y>0, com velocidade de 3.0 km / h. O terceiro pedaço tem massa três
vezes maior que qualquer um dos outros. Calcule a velocidade, em módulo e direção, adquirida pelo terceiro pedaço, imediatamente após a explosão.
Resp.: 1.41 km / h ; theta=-135^circ com o eixo x>0

Passo 1

O enunciado diz que um balão meteorológico, inicialmente em repouso, se parte em três pedaços. Dois pedaços têm massa m cada e saem com velocidade de 3,0 ,km/h ao longo dos eixos x>0 e y>0. O terceiro pedaço tem massa 3m e velocidade desconhecida. Vamos usar o princípio de conservação da quantidade de movimento linear, que afirma que a soma vetorial dos momentos antes e depois da explosão permanece nula.

Passo 2

Definimos os vetores-velocidade dos primeiros dois pedaços como
v1 = 3,imath, v2 = 3,jmath,
ambos em km/h. O terceiro pedaço tem vetor-velocidade v3 e massa 3m. A quantidade de movimento de cada pedaço é mivi.

Passo 3

Pela conservação de quantidade de movimento, como o sistema estava em repouso ( sum mivi=0 antes da explosão), após a explosão deve-se ter
m,v1 + m,v2 + 3m,v3 = 0

Passo 4

Isolando v3,
3m,v3 = -ml(v1 + v2r) Longrightarrow v3 = -v1 + v23

Passo 5

Substituindo v1=(3,0) e v2=(0,3) em km/h,
v1 + v2 = (3,3), v3 = -13(3,3) = (-1,-1)
O módulo de v3 é
l|v3r| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 = raiz2 approx 1,41 km/h

Passo 6

Para achar a direção, calculamos o ângulo theta medido a partir do eixo x>0:
theta = arctan!l(tfrac-1-1r) = arctan(1) = 45^circ,
porém o vetor (-1,-1) está no terceiro quadrante, então
theta = 180^circ + 45^circ = 225^circ,
o que equivale a theta = -135^circ em relação ao sentido positivo de x.

Resposta

A velocidade do terceiro pedaço é de 1,41 ,km/h em módulo, com direção theta = -135^circ em relação ao eixo x>0.

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