Um balão de ar quente sobre verticalmente à medida que uma corda, amarrada à sua base, é liberada à razão de 5 m / min. O carrete que libera a corda está a 50 m da plataforma onde os passageiros embarcam. Determine a taxa à qual o balão está subindo no instante em que foram liberados 130 m de corda.

Passo 1

O enunciado diz que um balão sobe verticalmente e que a corda que o liga a um carrete, situado a 50 m horizontalmente da base, é liberada a uma taxa de ds/dt = 5 m/min. Precisamos achar a taxa de subida dy/dt quando já se soltaram 130 m de corda. O conteúdo é um problema de taxas relacionadas usando derivação implícita de uma equação de Pitágoras.

Passo 2

Ligando a altura do balão y, a distância fixa x=50 m e o comprimento da corda s, temos a relação:
s^2 = x^2 + y^2
No instante considerado, s=130 m e x=50 m, logo:
y = raiz130^2 - 50^2 = raiz16900 - 2500 = 120 m

Passo 3

Derivando ambos os lados em relação ao tempo t (derivação implícita):
2sdsdt = 2ydydt
Isso leva a:
dydt = sydsdt

Passo 4

Substituindo os valores s=130 m, y=120 m e ds/dt=5 m/min, obtemos:
dydt = 130120 times 5 = 6512 approx 5,42 m/min

Resposta

65/12 m/min

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