Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
y^prime prime=12

Passo 1

O enunciado nos pede a solução geral da equação diferencial de segunda ordem não homogênea y''=12 usando o método de variação dos parâmetros. O conteúdo aqui é equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro encontrar a solução da parte homogênea e depois aplicar variação dos parâmetros para obter uma solução particular.

Passo 2

Consideramos a equação homogênea associada
y''=0
Integrando uma vez obtemos y' = C1 e integrando de novo
y(x) = C1,x + C2
Logo, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1,x + C2

Passo 3

As duas soluções fundamentais do homogêneo podem ser escolhidas como
v1(x)=x, v2(x)=1
O Wronskiano dessas soluções é
W(x)=detv1 & v2 v1' & v2' =detx & 1 1 & 0=-1

Passo 4

Para a parte particular propomos
yp(x)=u1(x),v1(x)+u2(x),v2(x)
e impomos as condições auxiliares
u1'(x),v1(x)+u2'(x),v2(x)=0, u1'(x),v1'(x)+u2'(x),v2'(x)=12,
pois o termo não homogêneo é g(x)=12.

Passo 5

Usando as fórmulas de variação de parâmetros, temos
u1'(x)=-v2(x),g(x)W(x) =-1cdot 12-1=12, u2'(x)=v1(x),g(x)W(x) =xcdot 12-1=-12x

Passo 6

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x)=integral 12,dx=12x, u2(x)=integral(-12x),dx=-6x^2

Passo 7

A solução particular fica
yp(x)=u1(x),v1(x)+u2(x),v2(x) =12xcdot x+(-6x^2)cdot1=6x^2
Somando a solução homogênea e a particular, obtemos a solução geral da equação.

Resposta

y(x)=C1,x + C2 + 6x^2

Exercícios relacionados