Utilize o método de variação dos parâmetros para determinar a solução geral das seguintes equações diferenciais:
(t^2-1) ddotx-2 t dotx+2 x=(t^2-1)^2 sabendo que t e t^2+1 são duas soluções da equação homogênea associada.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação
l(t^2-1r)ddot x-2tdot x+2x=l(t^2-1r)^2
sabendo que as soluções da homogênea associada são y1(t)=t e y2(t)=t^2+1.
Conteúdo: método de variação de parâmetros para equações lineares de segunda ordem não homogêneas.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação em forma padrão
ddot x + P(t)dot x + Q(t)x = R(t),
dividindo tudo por t^2-1. Obtemos
ddot x - 2tt^2-1,dot x + 2t^2-1,x = t^2-1
Aqui P(t)=-2tt^2-1, Q(t)=2t^2-1 e R(t)=t^2-1.

Passo 3

Calculamos o Wronskiano das soluções homogêneas
W(t)= y1 & y2 y1' & y2' = t & t^2+1 1 & 2t = tcdot2t - 1cdot(t^2+1)=2t^2-t^2-1=t^2-1

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, definimos funções u1(t) e u2(t) tais que
u1' = -y2(t),R(t)W(t), u2' = y1(t),R(t)W(t)
Substituindo y1=t, y2=t^2+1, R=t^2-1 e W=t^2-1, vem
u1' = -(t^2+1)(t^2-1)t^2-1=-(t^2+1), u2' = t,(t^2-1)t^2-1=t

Passo 5

Integramos u1' e u2':
u1(t) = -integrall(t^2+1r),dt = -l(tfract^33+tr), u2(t) = integral t,dt = tfract^22

Passo 6

A solução particular é
xp(t)=u1(t),y1(t)+u2(t),y2(t) = l(-tfract^33-tr)!t + tfract^22l(t^2+1r)
Distribuindo e somando termos,
xp(t) = -l(tfract^43+t^2r) + l(tfract^42 + tfract^22r) = tfract^46 - tfract^22

Passo 7

A solução geral da não homogênea é
x(t) = C1,y1(t) + C2,y2(t) + xp(t),
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Resposta

boxed x(t)=C1,t + C2,(t^2+1) + t^46 - t^22

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