Considere f(x)=x^2-1x^3 de modo que
f^prime(x)=3-x^2x^4, f^prime prime(x)=2(x^2-6)x^5
Acerca de f, determine:
assíntotas verticais e assíntotas horizontais;

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=x^2-1x^3,
que é uma função racional com domínio Rsetminus0. O que precisamos fazer é encontrar:
1. As assíntotas verticais, que ocorrem onde a função fica infinita dentro do domínio e em que ponto o denominador se anula.
2. As assíntotas horizontais, que são as retas y=L obtidas pelos limites de f(x) quando xto+infty e xto-infty.

Passo 2

Domínio e assíntota vertical.
Como o denominador é x^3, o único ponto onde a função não está definida é x=0. Logo, x=0 é candidato a assíntota vertical. Para confirmar, calculamos os limites laterais em 0. Primeiro escrevemos
f(x)=x^2-1x^3=1x-1x^3
Em seguida:
limxto0^+f(x) =limxto0^+l(1x-1x^3r) =-infty,
limxto0^-f(x) =limxto0^-l(1x-1x^3r) =+infty
Como um dos limites laterais é +infty e o outro é -infty, concluímos que
;x=0, é assíntota vertical.

Passo 3

Assíntota horizontal.
Para xtopminfty temos
f(x)=1x-1x^3,
e como tfrac1xto0 e tfrac1x^3to0, ambos os limites satisfazem
limxto+inftyf(x)=0, limxto-inftyf(x)=0
Portanto a reta y=0 é assíntota horizontal para xto+infty e para xto-infty.

Resposta

Assíntota vertical: x=0.
Assíntota horizontal: y=0.

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