Considere a região R delimitada pelas curvas y=raizx, y=x^2 e seja S o sólido obtido por meio de rotação de região R em torno do eixo y=1.
Esboce R e calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede para esboçar a região R limitada pelas curvas y=raizx e y=x^2 e calcular sua área. O conteúdo principal é Área entre curvas, e vamos precisar achar os pontos de interseção, determinar qual função é superior na região e montar uma integral para encontrar a área.

Passo 2

Para encontrar os pontos de interseção, igualamos raizx = x^2. Elevando ao quadrado (e lembrando que x>=0), temos
x = x^4
o que nos dá x(x^3-1)=0, ou seja, x=0 ou x=1. Substituindo em uma das curvas, obtemos os pontos (0,0) e (1,1).

Passo 3

Para esboçar R, desenhe no plano cartesiano:
  • A parábola y=x^2, que passa por (0,0) e sobe mais devagar em [0,1].
  • A curva y=raizx, que também passa por (0,0) e sobe mais rapidamente nesse intervalo.
    A região R é o “favo” entre essas duas curvas, de x=0 até x=1.

Passo 4

Entre x=0 e x=1, nota-se que raizx >= x^2. Então a área entre as curvas é dada por
A = integral0^1l(raizx - x^2r),dx

Passo 5

Agora calculamos a integral:
A = integral0^1(x^1/2-x^2),dx
A = l[tfrac23x^3/2 - tfrac13x^3r]0^1 = tfrac23 - tfrac13 = tfrac13

Resposta

A área da região R é tfrac13.

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