Considere a região
delimitada pelas curvas
e seja
o sólido obtido por meio de rotação de região
em torno do eixo
.
Esboce
e calcule sua área.
Esboce
Passo 1
O enunciado pede para esboçar a região
limitada pelas curvas
e
e calcular sua área. O conteúdo principal é Área entre curvas, e vamos precisar achar os pontos de interseção, determinar qual função é superior na região e montar uma integral para encontrar a área.
Passo 2
Para encontrar os pontos de interseção, igualamos
. Elevando ao quadrado (e lembrando que
), temos
o que nos dá
, ou seja,
ou
. Substituindo em uma das curvas, obtemos os pontos
e
.
Passo 3
Para esboçar
, desenhe no plano cartesiano:
- A parábola
, que passa por e sobe mais devagar em . - A curva
, que também passa por e sobe mais rapidamente nesse intervalo.
A regiãoé o “favo” entre essas duas curvas, de até .
Passo 4
Entre
e
, nota-se que
. Então a área entre as curvas é dada por
Passo 5
Agora calculamos a integral:
Resposta
A área da região
é
.