Um balão de ar quente está subindo, com uma velocidade constante de 12,0 m / s, e se encontra 80.0 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo? © Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um balão de ar quente que está subindo com uma velocidade constante de 12,0 , m/s e está a 80,0 , m do chão quando um tripulante deixa cair um pacote. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo.
b) Com que velocidade o pacote atinge o solo.
c) Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos considerar a aceleração da gravidade ( g = 9,8 , m/s^2) e entender como a velocidade inicial e a posição inicial influenciam o movimento do pacote após ser solto.

Passo 2

Vamos começar com a parte (a): Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo.
Quando o pacote é solto, ele já tem a mesma velocidade do balão, ou seja, v0 = 12,0 , m/s para cima. Mas assim que é solto, a única força que atua sobre ele é a gravidade, que vai desacelerar seu movimento para cima e depois acelerar seu movimento para baixo.
A equação que descreve a posição do pacote ao longo do tempo é:
y(t) = y0 + v0 t - 12 g t^2
Onde:
  • y(t) é a posição no tempo t,
  • y0 = 80,0 , m é a altura inicial,
  • v0 = 12,0 , m/s é a velocidade inicial,
  • g = 9,8 , m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Queremos encontrar o tempo t quando o pacote atinge o solo, ou seja, quando y(t) = 0.

Passo 3

Vamos substituir os valores na equação:
0 = 80,0 + 12,0 t - 12 times 9,8 times t^2
Simplificando:
0 = 80,0 + 12,0 t - 4,9 t^2
Isso é uma equação quadrática na forma a t^2 + b t + c = 0, onde:
  • a = -4,9,
  • b = 12,0,
  • c = 80,0.

Passo 4

Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Substituindo os valores:
t = -12,0 pm raiz(12,0)^2 - 4 times (-4,9) times 80,02 times (-4,9)
Calculando dentro da raiz:
raiz144 - 4 times (-4,9) times 80 = raiz144 + 1568 = raiz1712 approx 41,38
Então:
t = -12,0 pm 41,38-9,8
Temos duas soluções, mas vamos considerar apenas a positiva, já que o tempo não pode ser negativo:
t = -12,0 + 41,38-9,8 approx 29,38-9,8 approx -3,0 , s
Isso não faz sentido, então vamos usar a outra solução:
t = -12,0 - 41,38-9,8 approx -53,38-9,8 approx 5,45 , s

Passo 5

Então, o tempo que o pacote leva para atingir o solo é aproximadamente 5,45 , s.

Passo 6

Agora, vamos para a parte (b): Com que velocidade o pacote atinge o solo.
A velocidade do pacote no tempo t é dada por:
v(t) = v0 - g t
Substituindo os valores:
v(5,45) = 12,0 - 9,8 times 5,45
Calculando:
v(5,45) = 12,0 - 53,41 approx -41,41 , m/s
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.

Passo 7

Portanto, a velocidade com que o pacote atinge o solo é aproximadamente -41,41 , m/s, ou seja, 41,41 , m/s para baixo.

Passo 8

Por fim, vamos resolver a parte ©: Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo.
Como o balão está subindo com uma velocidade constante de 12,0 , m/s, a altura do balão no tempo t é:
h(t) = h0 + vbalão t ã
Onde:
  • h0 = 80,0 , m é a altura inicial,
  • vbalão = 12,0 , m/sã.
Substituindo o tempo que calculamos:
h(5,45) = 80,0 + 12,0 times 5,45
Calculando:
h(5,45) = 80,0 + 65,4 = 145,4 , m

Resposta

a) O pacote leva aproximadamente 5,45 , s para atingir o solo.
b) O pacote atinge o solo com uma velocidade de 41,41 , m/s para baixo.
c) Quando o pacote atinge o solo, o balão está a uma altitude de 145,4 , m.

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