Um balão de ar quente está subindo, com uma velocidade constante de
, e se encontra 80.0 m acima do solo quando um tripulante deixa cair um pacote. (a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo? (b) Com que velocidade o pacote atinge o solo? © Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um balão de ar quente que está subindo com uma velocidade constante de
e está a
do chão quando um tripulante deixa cair um pacote. Nosso objetivo é descobrir três coisas:
a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo.
b) Com que velocidade o pacote atinge o solo.
c) Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo.
a) Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo.
b) Com que velocidade o pacote atinge o solo.
c) Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. Precisamos considerar a aceleração da gravidade (
) e entender como a velocidade inicial e a posição inicial influenciam o movimento do pacote após ser solto.
Passo 2
Vamos começar com a parte (a): Quanto tempo o pacote leva para atingir o solo.
Quando o pacote é solto, ele já tem a mesma velocidade do balão, ou seja,
para cima. Mas assim que é solto, a única força que atua sobre ele é a gravidade, que vai desacelerar seu movimento para cima e depois acelerar seu movimento para baixo.
A equação que descreve a posição do pacote ao longo do tempo é:
Onde:
-
é a posição no tempo , -
é a altura inicial, -
é a velocidade inicial, -
é a aceleração da gravidade.
Queremos encontrar o tempo
quando o pacote atinge o solo, ou seja, quando
.
Passo 3
Vamos substituir os valores na equação:
Simplificando:
Isso é uma equação quadrática na forma
, onde:
-
, -
, -
.
Passo 4
Vamos resolver essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo os valores:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Temos duas soluções, mas vamos considerar apenas a positiva, já que o tempo não pode ser negativo:
Isso não faz sentido, então vamos usar a outra solução:
Passo 5
Então, o tempo que o pacote leva para atingir o solo é aproximadamente
.
Passo 6
Agora, vamos para a parte (b): Com que velocidade o pacote atinge o solo.
A velocidade do pacote no tempo
é dada por:
Substituindo os valores:
Calculando:
O sinal negativo indica que a velocidade está para baixo.
Passo 7
Portanto, a velocidade com que o pacote atinge o solo é aproximadamente
, ou seja,
para baixo.
Passo 8
Por fim, vamos resolver a parte ©: Qual a altitude do balão quando o pacote atinge o solo.
Como o balão está subindo com uma velocidade constante de
, a altura do balão no tempo
é:
Onde:
-
é a altura inicial, -
.
Substituindo o tempo que calculamos:
Calculando:
Resposta
a) O pacote leva aproximadamente
para atingir o solo.
b) O pacote atinge o solo com uma velocidade de para baixo.
c) Quando o pacote atinge o solo, o balão está a uma altitude de .
b) O pacote atinge o solo com uma velocidade de
c) Quando o pacote atinge o solo, o balão está a uma altitude de