Um balão de ar quente está subindo verticalmente a partir do nível do solo, e um cabo é amarrado à sua cesta. O comprimento do cabo é mantido constante e igual a 100 metros, enquanto o balão se move. Uma bicicleta passa diretamente sob o balão, movendo-se ao longo de uma linha reta a uma velocidade constante de 10 m/s. Qual a velocidade vertical do balão no instante em que a bicicleta está a 50 metros do ponto de lançamento do balão?

Passo 1

O enunciado descreve um balão preso por um cabo de comprimento constante e igual a 100 m, sendo uma extremidade do cabo ligada à cesta do balão e a outra ao ciclista que se afasta da base do balão com velocidade constante de 10 m/s. Queremos a velocidade vertical do balão quando a distância horizontal entre ciclista e base é de 50 m. O conteúdo é de taxas relacionadas (related rates) e usaremos derivação implícita da relação pitagórica.

Passo 2

Definimos as variáveis em função do tempo t:
x(t) = distância horizontal entre ciclista e base do balão,
y(t) = altura do balão em relação ao solo.
Como o cabo forma um triângulo retângulo com hipotenusa fixa, vale
x^2 + y^2 = 100^2

Passo 3

Diferenciando ambos os lados em relação a t, obtemos
2x,dxdt + 2y,dydt = 0
e daí isolamos dydt:
dydt = -xy,dxdt

Passo 4

No instante considerado, x = 50 m, então
y = raiz100^2 - 50^2 = raiz10000 - 2500 = 50raiz3 m

Passo 5

Substituindo x=50, y=50raiz3 e dxdt=10 m/s em
dydt = -xy,dxdt
temos
dydt = -5050raiz3times 10 = -10raiz3 m/s

Resposta

dydt = -10raiz3 m/s

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