Um balão de ar quente está subindo verticalmente a partir do nível do solo, e um cabo é amarrado à sua cesta. O comprimento do cabo é mantido constante e igual a 100 metros, enquanto o balão se move. Uma bicicleta passa diretamente sob o balão, movendo-se ao longo de uma linha reta a uma velocidade constante de 10 m/s. Qual a velocidade vertical do balão no instante em que a bicicleta está a 50 metros do ponto de lançamento do balão?
Passo 1
O enunciado descreve um balão preso por um cabo de comprimento constante e igual a
m, sendo uma extremidade do cabo ligada à cesta do balão e a outra ao ciclista que se afasta da base do balão com velocidade constante de
m/s. Queremos a velocidade vertical do balão quando a distância horizontal entre ciclista e base é de
m. O conteúdo é de taxas relacionadas (related rates) e usaremos derivação implícita da relação pitagórica.
Passo 2
Definimos as variáveis em função do tempo
:
distância horizontal entre ciclista e base do balão,
altura do balão em relação ao solo.
Como o cabo forma um triângulo retângulo com hipotenusa fixa, vale
Como o cabo forma um triângulo retângulo com hipotenusa fixa, vale
Passo 3
Diferenciando ambos os lados em relação a
, obtemos
e daí isolamos
:
Passo 4
No instante considerado,
m, então
Passo 5
Substituindo
,
e
m/s em
temos