Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto P0 indicado.
lx^2+y^2+z^2=4 x=1 ; P0(1,1, raiz2)

Passo 1

O enunciado pede a reta tangente à curva de interseção das superfícies
F1(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-4=0
e
F2(x,y,z)=x-1=0
no ponto P0=(1,1,raiz2). Para isso, vamos usar que o vetor direcional da reta tangente é ortogonal aos vetores normais de ambas as superfícies, ou seja, é dado pelo produto vetorial nabla F1(P0)timesnabla F2(P0).

Passo 2

Calculamos os gradientes das funções:
nabla F1(x,y,z)=(2x,2y,2z), nabla F2(x,y,z)=(1,0,0)
Em P0 isso fica
nabla F1(P0)=(2,2,2raiz2), nabla F2(P0)=(1,0,0)

Passo 3

O vetor direcional v da reta tangente é
v =nabla F1(P0)timesnabla F2(P0) =(2,2,2raiz2)times(1,0,0) =(0,2raiz2,-2)

Passo 4

Podemos simplificar v dividindo por 2:
v=(0,raiz2,-1)
Logo, as equações paramétricas da reta que passa por P0 com direção v são
x=1+0cdot t=1, y=1+raiz2,t, z=raiz2-1cdot t

Resposta

boxedx=1, y=1+raiz2,t, z=raiz2-t

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