Calcule a integral.
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
O conteúdo é o cálculo de uma função racional cujo denominador é um quadrático irreduzível ao quadrado. Vamos usar a substituição para completar o quadrado no denominador e depois decomposição em frações parciais.
Passo 2
Fazemos a substituição
logo
e
Também transformamos o numerador em função de
:
Assim a integral vira
Passo 3
Decompondo em frações parciais do tipo
multiplicamos por
para igualar numeradores:
Expandindo a direita,
Comparando coeficientes em
, obtemos
Passo 4
Com isso
Logo a integral separa-se em
Passo 5
Calculamos
Para a primeira parte usamos
,
, obtendo
e a segunda é a arcotangente,
Logo
Passo 6
Agora
Para a primeira parte fazemos
,
, daí
Para a segunda parte usamos a fórmula conhecida
Portanto
Passo 7
Somando
e revertendo
,
Juntando termos semelhantes em
e simplificando
, obtemos a forma final.