Calcule a integral.
integral x^3+2 x^2+3 x-2(x^2+2 x+2)^2 d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
integral x^3 + 2x^2 + 3x - 2l(x^2 + 2x + 2r)^2,dx
O conteúdo é o cálculo de uma função racional cujo denominador é um quadrático irreduzível ao quadrado. Vamos usar a substituição para completar o quadrado no denominador e depois decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = x + 1,
logo dx = dt e
x^2 + 2x + 2 = (x+1)^2 + 1 = t^2 + 1
Também transformamos o numerador em função de t:
x = t - 1 Longrightarrow x^3+2x^2+3x-2 = t^3 - t^2 + 2t - 4
Assim a integral vira
integral t^3 - t^2 + 2t - 4(t^2+1)^2,dt

Passo 3

Decompondo em frações parciais do tipo
t^3 - t^2 + 2t - 4(t^2+1)^2 = At + Bt^2+1 + Ct + D(t^2+1)^2,
multiplicamos por (t^2+1)^2 para igualar numeradores:
t^3 - t^2 + 2t - 4 = (At + B)(t^2+1) + (Ct + D)
Expandindo a direita,
(At+B)(t^2+1) + (Ct+D) = A t^3 + B t^2 + A t + B + C t + D
Comparando coeficientes em t^3,t^2,t^1,t^0, obtemos
A=1, B=-1, C=1, D=-3

Passo 4

Com isso
t^3 - t^2 + 2t - 4(t^2+1)^2 = t - 1t^2+1 + t - 3(t^2+1)^2
Logo a integral separa-se em
integral t - 1t^2+1,dt ;+; integral t - 3(t^2+1)^2,dt

Passo 5

Calculamos
I1 = integral t - 1t^2+1,dt = integral tt^2+1,dt ;-;integral 1t^2+1,dt
Para a primeira parte usamos u = t^2+1, du = 2t,dt, obtendo
integral tt^2+1,dt = 12lnl(t^2+1r),
e a segunda é a arcotangente,
integral 1t^2+1,dt = arctan(t)
Logo
I1 = 12lnl(t^2+1r) ;-;arctan(t)

Passo 6

Agora
I2 = integral t - 3(t^2+1)^2,dt = integral t(t^2+1)^2,dt ;-; 3integral 1(t^2+1)^2,dt
Para a primeira parte fazemos u = t^2+1, du = 2t,dt, daí
integral t(t^2+1)^2,dt = 12integral duu^2 = -12u = -12(t^2+1)
Para a segunda parte usamos a fórmula conhecida
integral dt(t^2+1)^2 = t2(t^2+1) + 12arctan(t)
Portanto
I2 = -12(t^2+1) ;-;3l(t2(t^2+1) + 12arctan(t)r) = -1+3t2(t^2+1) - 32arctan(t)

Passo 7

Somando I1+I2 e revertendo t = x+1,
integral x^3 + 2x^2 + 3x - 2(x^2+2x+2)^2,dx = 12lnl((x+1)^2+1r) - arctan(x+1) - 1+3(x+1)2l((x+1)^2+1r) - 32arctan(x+1) + C
Juntando termos semelhantes em arctan(x+1) e simplificando 1+3(x+1)=3x+4, obtemos a forma final.

Resposta

12lnl(x^2+2x+2r) - 52arctan(x+1) - 3x+42,(x^2+2x+2) + C

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