Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada no ponto P0 indicado.
lx^2+y^2+z^2=14 x=1 ; P0(1,3,2)

Passo 1

O enunciado pede as equações paramétricas da reta tangente ao espaço curva definida pela interseção da esfera
x^2+y^2+z^2=14
com o plano
x=1
no ponto P0(1,3,2).
Conteúdo: quando uma curva é dada pela interseção de duas superfícies implícitas, sua reta tangente em um ponto tem direção ortogonal aos vetores normais de ambas as superfícies nesse ponto. Para achar essa direção, vamos calcular o gradiente da esfera e o vetor normal do plano e depois usar o produto vetorial entre eles.

Passo 2

Calcular os vetores normais em P0:
– Para a esfera F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-14, o gradiente é
nabla F=(2x,,2y,,2z),
então em P0(1,3,2) temos
nabla F(1,3,2)=(2cdot1,;2cdot3,;2cdot2)=(2,6,4)
– Para o plano G(x,y,z)=x-1, o vetor normal é constante
nabla G=(1,0,0)

Passo 3

Determinar a direção da reta tangente pelo produto vetorial
v=nabla F(1,3,2)timesnabla G=(2,6,4)times(1,0,0)
Calculando pela regra de Sarrus:
v = i&j&k 2&6&4 1&0&0 = i(6cdot0-4cdot0)-j(2cdot0-4cdot1)+k(2cdot0-6cdot1)
v=0,i-(-4),j+(-6),k=(0,4,-6)
Podemos simplificar o vetor direção para
d=(0,2,-3)

Passo 4

Escrever as equações paramétricas da reta que passa em P0(1,3,2) com direção d=(0,2,-3):
x=1+0,t=1, y=3+2,t, z=2-3,t

Resposta

boxedx=1, y=3+2t, z=2-3t

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