Determine G(t) se G^prime(t)=(2 t, 3 t^2, e^t) e G(1)=(4,0, e).

Passo 1

O enunciado nos dá ,G'(t)=l(2t,3t^2,e^tr) e a condição inicial ,G(1)=(4,0,e). Aqui o conteúdo é integração de funções vetoriais: basta integrar cada componente e depois usar o valor em t=1 para achar as constantes de integração.

Passo 2

Integramos componente a componente:
integral 2t,dt = t^2 + C1, integral 3t^2,dt = t^3 + C2, integral e^t,dt = e^t + C3
Logo uma família de soluções é
G(t)=l(t^2 + C1,;t^3 + C2,;e^t + C3r)

Passo 3

Usamos G(1)=(4,0,e). Substituindo t=1 no vetor geral, vem
(1 + C1,;1 + C2,;e + C3) = (4,0,e)
Igualando componente a componente dá
1 + C1 = 4, 1 + C2 = 0, e + C3 = e
ou seja C1=3, C2=-1 e C3=0.

Resposta

G(t)=l(t^2 + 3,;t^3 - 1,;e^tr)

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