Um balão de ar quente está subindo verticalmente a uma velocidade que varia em função do tempo v(t), dada pela equação:
v(t)=5 t^2-30 t+50,
onde v(t) está em metros por segundo (m / s) e t em segundos (s).
Calcule a distância total percorrida pelo balão nos primeiros 10 segundos.

Passo 1

O enunciado nos dá a velocidade do balão em função do tempo, v(t)=5t^2-30t+50, e pede a distância total percorrida nos primeiros 10 s. Vamos usar cálculo integral para transformar velocidade em deslocamento.

Passo 2

Para obter a distância percorrida de t=0 a t=10, precisamos calcular a integral definida de v(t):
D=integral0^10v(t),dt

Passo 3

Primeiro, encontramos a primitiva de v(t). Se
v(t)=5t^2-30t+50
então uma antiderivada é
S(t)=integral v(t),dt=53t^3-15t^2+50t

Passo 4

Agora avaliamos S(t) entre os limites 0 e 10:
D=S(10)-S(0)
S(10)=53,(10)^3-15,(10)^2+50,(10)
S(0)=0

Passo 5

Calculando:
S(10)=53times1000-15times100+500=50003-1500+500=5000-30003=20003

Resposta

20003 mapprox666.67 m

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