Em um experimento químico, a concentração de um reagente C(t), em mol/L, varia em função do tempo t, em minutos, de acordo com a seguinte equação:
C(t)=10t+2
Qual é a taxa de variação da concentração no instante t=3 minutos? Interprete o resultado no contexto do experimento.

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a questão. A gente tem uma função que mostra como a concentração de um reagente, chamada $ C(t) $, muda com o tempo $ t $. A equação é $ C(t) = \frac{10}{t+2} $. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é a taxa de variação dessa concentração no exato momento em que $ t = 3 $ minutos. Basicamente, queremos saber como a concentração está mudando exatamente nesse instante. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo diferencial, especificamente derivadas, que nos ajudam a encontrar taxas de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa taxa de variação. A taxa de variação de uma função em relação ao tempo é a derivada dessa função. Ou seja, para achar como $ C(t) $ está mudando em qualquer instante $ t $, precisamos calcular $ \frac{dC}{dt} $, que é a derivada de $ C(t) $ em relação a $ t $.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de $ C(t) = \frac{10}{t+2} $. Para isso, podemos reescrever a função como $ C(t) = 10(t+2)^{-1} $ e aplicar a regra do poder. A derivada de $ t^n $ é $ n \cdot t^{n-1} $.
Então,
C(t) = 10t+2
Simplificando,
C(t) = 10(t+2)^-1
Ou seja,
t^n

Passo 4

Agora que temos a expressão para a taxa de variação, vamos calcular o valor dela no instante $ t = 3 $ minutos. Substituindo $ t $ por 3 na derivada:
t = 3

Resposta

A taxa de variação da concentração no instante $ t = 3 $ minutos é t = 3 mol/L por minuto. Isso significa que, nesse momento, a concentração do reagente está diminuindo a uma taxa de $ 0,4 $ mol/L a cada minuto.

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