Calcule dd x(sin (x)x^2+1) usando a regra do quociente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada de sin(x)x^2+1 em relação a x usando a regra do quociente. Estamos lidando com cálculo diferencial, especificamente com a derivação de funções que são quocientes de duas outras funções. Para resolver isso, vamos usar a regra do quociente, que é uma técnica para derivar expressões que são divisões de duas funções.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos as duas funções envolvidas no quociente. Vamos chamar:
f(x) = sin(x)
g(x) = x^2 + 1
A regra do quociente diz que a derivada de f(x)g(x) é dada por:
f'(x) cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)[g(x)]^2

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas de f(x) e g(x) :
Para f(x) = sin(x) :
f'(x) = cos(x)
Para g(x) = x^2 + 1 :
g'(x) = 2x

Passo 4

Aplicando a regra do quociente:
ddx(sin(x)x^2+1) = f'(x) cdot g(x) - f(x) cdot g'(x)[g(x)]^2
Substituindo os valores que encontramos:
ddx(sin(x)x^2+1) = cos(x) cdot (x^2 + 1) - sin(x) cdot 2x(x^2 + 1)^2

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
cos(x) cdot (x^2 + 1) - 2x cdot sin(x) = x^2cos(x) + cos(x) - 2xsin(x)
Então, a derivada fica:
x^2cos(x) + cos(x) - 2xsin(x)(x^2 + 1)^2

Resposta

A derivada de sin(x)x^2+1 em relação a x é:
ddx(sin(x)x^2+1) = x^2cos(x) + cos(x) - 2xsin(x)(x^2 + 1)^2

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