Considere a equação diferencial
(x^4 y-2 x^2) d x+(x^55+y^2) d y=0
Responda:
Caso seja exata, forneça a solução geral da equação.

Passo 1

Temos a equação diferencial
l(x^4y - 2x^2r),dx + l(tfracx^55 + y^2r),dy = 0
Este é um caso de equação diferencial da forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0,
onde
M(x,y) = x^4y - 2x^2, N(x,y) = tfracx^55 + y^2
O conteúdo aqui é testar se é exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial Phi(x,y) cuja diferencial total é dPhi = M,dx + N,dy.

Passo 2

Verificamos a exatidão calculando as derivadas parciais
partial Mpartial y = partialpartial yl(x^4y - 2x^2r) = x^4,
partial Npartial x = partialpartial xl(tfracx^55 + y^2r) = tfrac5x^45 = x^4
Como partial M/partial y = partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para obter a função potencial Phi(x,y), integramos M em relação a x, tratando y como constante:
Phi(x,y) = integral l(x^4y - 2x^2r),dx = yintegral x^4,dx ;-; 2integral x^2,dx = y,x^55 ;-; 2,x^33 + h(y),
onde h(y) é uma função de y a determinar.

Passo 4

Impondo partialPhi/partial y = N(x,y), temos
partialPhipartial y = x^55 + h'(y) ;stackrel!=; x^55 + y^2
Logo
h'(y) = y^2 ;Longrightarrow; h(y) = y^33
Portanto
Phi(x,y) = x^5y5 ;-; 2x^33 ;+; y^33

Resposta

A solução geral em forma implícita é
x^5y5 ;-; 2x^33 ;+; y^33 = C,
onde C é constante arbitrária.

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