(2,5) Determine o volume do solido formado pela rotação da figura plana, limitada por y=x^2 e pelc segmento 0 <= x <= 1, em torno do eixo O x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos a área delimitada pela curva y = x^2 e pelo segmento de x entre 0 e 1 em torno do eixo Ox . Isso está relacionado com o cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando métodos de integração, como o método dos discos ou anéis.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A curva y = x^2 é uma parábola que abre para cima. Queremos pegar a parte dessa parábola entre x = 0 e x = 1 e girar essa área ao redor do eixo x . Isso vai formar um sólido de revolução.

Passo 3

Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em “fatias” circulares fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada disco, depois somar todos esses volumes usando integração.

Passo 4

A fórmula do método dos discos é:
V = pi integrala^b [f(x)]^2 dx
Aqui, f(x) é a função que define a borda do sólido no eixo y , e a e b são os limites de integração, que nesse caso são de 0 a 1.

Passo 5

No nosso exercício, f(x) = x^2 . Então, substituindo na fórmula:
V = pi integral0^1 (x^2)^2 dx = pi integral0^1 x^4 dx

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral integral0^1 x^4 dx . A antiderivada de x^4 é x^55 . Então:
integral0^1 x^4 dx = [ x^55 ]0^1 = 1^55 - 0^55 = 15 - 0 = 15

Passo 7

Finalmente, multiplicamos a integral pelo pi para obter o volume:
V = pi times 15 = pi5

Resposta

O volume do sólido formado é pi5 unidades cúbicas.

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