Determine o volume do solido formado pela rotação da figura plana, limitada por
e pelc segmento
, em torno do eixo
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o volume do sólido que forma quando giramos a área delimitada pela curva
e pelo segmento de
entre 0 e 1 em torno do eixo
. Isso está relacionado com o cálculo de volumes de sólidos de revolução, usando métodos de integração, como o método dos discos ou anéis.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o que está acontecendo. A curva
é uma parábola que abre para cima. Queremos pegar a parte dessa parábola entre
e
e girar essa área ao redor do eixo
. Isso vai formar um sólido de revolução.
Passo 3
Para calcular o volume desse sólido, vamos usar o método dos discos. Esse método consiste em dividir o sólido em “fatias” circulares fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada disco, depois somar todos esses volumes usando integração.
Passo 4
A fórmula do método dos discos é:
Aqui,
é a função que define a borda do sólido no eixo
, e
e
são os limites de integração, que nesse caso são de 0 a 1.
Passo 5
No nosso exercício,
. Então, substituindo na fórmula:
Passo 6
Agora, vamos calcular a integral
. A antiderivada de
é
. Então:
Passo 7
Finalmente, multiplicamos a integral pelo
para obter o volume:
Resposta
O volume do sólido formado é
unidades cúbicas.