(2,5) Use frações parciais para resolver a seguinte integral indefinida:
integral x-1x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral que é integral x-1x^2-4 dx. O conteúdo aqui envolve frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais fácil. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador x^2 - 4. Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada assim:
x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)
Então, nossa fração fica:
x-1(x-2)(x+2)

Passo 3

Agora, vamos expressar x-1(x-2)(x+2) como a soma de duas frações parciais:
x-1(x-2)(x+2) = Ax-2 + Bx+2
Aqui, A e B são constantes que precisamos encontrar.

Passo 4

Para encontrar A e B, vamos multiplicar ambos os lados da equação por (x-2)(x+2) para eliminar os denominadores:
x - 1 = A(x + 2) + B(x - 2)

Passo 5

Agora, vamos resolver para A e B. Podemos escolher valores de x que simplificam a equação. Por exemplo:
  • Se x = 2:
2 - 1 = A(2 + 2) + B(2 - 2) Rightarrow 1 = 4A Rightarrow A = 14
  • Se x = -2:
-2 - 1 = A(-2 + 2) + B(-2 - 2) Rightarrow -3 = -4B Rightarrow B = 34

Passo 6

Agora que sabemos que A = 14 e B = 34, podemos reescrever a fração original:
x-1x^2-4 = 1/4x-2 + 3/4x+2

Passo 7

Vamos agora integrar cada parte separadamente:
integral 1/4x-2 dx + integral 3/4x+2 dx
Usamos a integral básica integral 1x dx = ln|x| + C.

Passo 8

Integrando cada termo, temos:
14 ln|x-2| + 34 ln|x+2| + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

A integral é igual a 14 ln|x-2| + 34 ln|x+2| + C.

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