Use frações parciais para resolver a seguinte integral indefinida:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral que é
. O conteúdo aqui envolve frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações mais complicadas em partes mais simples que a gente consegue integrar mais fácil. Para isso, vamos precisar fatorar o denominador e expressar a fração original como a soma de frações mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. Isso é uma diferença de quadrados, que sempre pode ser fatorada assim:
Então, nossa fração fica:
Passo 3
Agora, vamos expressar
como a soma de duas frações parciais:
Aqui,
e
são constantes que precisamos encontrar.
Passo 4
Para encontrar
e
, vamos multiplicar ambos os lados da equação por
para eliminar os denominadores:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
e
. Podemos escolher valores de
que simplificam a equação. Por exemplo:
- Se
:
- Se
:
Passo 6
Agora que sabemos que
e
, podemos reescrever a fração original:
Passo 7
Vamos agora integrar cada parte separadamente:
Usamos a integral básica
.
Passo 8
Integrando cada termo, temos:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral é igual a
.