Um balão tem
de gás à pressão de
num determinado instante. Se a pressão decesce na razão de
por segundo, encontre a velocidade de variação do volume do gãs nesse instante.
Sugestão: Use a Lei de Boyle-Mariotte
, onde
é uma constante.
Sugestão: Use a Lei de Boyle-Mariotte
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei os números do enunciado):
- Volume instantâneo do gás:
. - Pressão instantânea do gás:
. - A pressão decresce à razão de
por segundo. Como é decrescimento, isso significa que a derivada temporal da pressão é negativa: . - Pede-se a velocidade de variação do volume naquele instante, isto é
(unidade: ).
Passo 2
Lei de Boyle-Mariotte (o enunciado sugere usar): para uma dada massa de gás a temperatura constante vale
onde:
-
é a pressão (função do tempo ), -
é o volume (função do tempo ), -
é uma constante (não depende do tempo).
Isso significa que o produtopermanece constante enquanto ocorre a transformação indicada.
Passo 3
Como
e
dependem do tempo, vamos diferenciar a igualdade
em relação ao tempo
. Ao diferenciar um produto usa-se a regra do produto (produto de funções de
):
- Regra do produto: se
e são funções, então .
Aplicando à nossa igualdade:
logo
Aqui
é o que queremos encontrar;
é conhecido.
Passo 4
Isolando
na equação acima:
Interpretação rápida: se a pressão está diminuindo (
), então
— faz sentido físico: pressão menor → volume maior, mantendo
constante.
Passo 5
Substituir os valores numéricos (todos em unidades coerentes dadas no enunciado):
-
, -
, -
.
Calculando passo a passo:
Simplificando:
então
Passo 6
Resultado e interpretação:
. Isso significa que, naquele instante, o volume do gás está aumentando à taxa de
por segundo. Boa notícia: pressão caindo ⇒ volume subindo, e o resultado está coerente com a lei de Boyle.