Um balão tem 80 c m^{3} de gás à pressão de 15 N / c m^{2} num determinado instante. Se a pressão decesce na razão de 0,25\left(N / c m^{2}\right) por segundo, encontre a velocidade de variação do volume do gãs nesse instante.
Sugestão: Use a Lei de Boyle-Mariotte P V=C, onde C é uma constante.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei os números do enunciado):
  • Volume instantâneo do gás: V=80\\ \text{cm}^3.
  • Pressão instantânea do gás: P=15\\ \text{N}/\text{cm}^2.
  • A pressão decresce à razão de 0,25\\ \bigl(\text{N}/\text{cm}^2\bigr) por segundo. Como é decrescimento, isso significa que a derivada temporal da pressão é negativa: \dfrac{dP}{dt}=-0,25\\ \bigl(\text{N}/\text{cm}^2\bigr)/\text{s}.
  • Pede-se a velocidade de variação do volume naquele instante, isto é \dfrac{dV}{dt} (unidade: \text{cm}^3/\text{s}).

Passo 2

Lei de Boyle-Mariotte (o enunciado sugere usar): para uma dada massa de gás a temperatura constante vale
P\,V = C,
onde:
  • P é a pressão (função do tempo P(t)),
  • V é o volume (função do tempo V(t)),
  • C é uma constante (não depende do tempo).
    Isso significa que o produto P\cdot V permanece constante enquanto ocorre a transformação indicada.

Passo 3

Como P e V dependem do tempo, vamos diferenciar a igualdade P V = C em relação ao tempo t. Ao diferenciar um produto usa-se a regra do produto (produto de funções de t):
  • Regra do produto: se u(t) e v(t) são funções, então \dfrac{d}{dt}[u v] = u\,\dfrac{dv}{dt} + v\,\dfrac{du}{dt}.
    Aplicando à nossa igualdade:
\frac{d}{dt}\bigl(PV\bigr)=\frac{d}{dt}\text{(C)}=0,
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P\,\frac{dV}{dt} + V\,\frac{dP}{dt} = 0.
Aqui \dfrac{dV}{dt} é o que queremos encontrar; \dfrac{dP}{dt} é conhecido.

Passo 4

Isolando \dfrac{dV}{dt} na equação acima:
P\,\frac{dV}{dt} = -V\,\frac{dP}{dt} \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dV}{dt} = -\frac{V}{P}\,\frac{dP}{dt}.
Interpretação rápida: se a pressão está diminuindo ( \dfrac{dP}{dt}<0), então \dfrac{dV}{dt}>0 — faz sentido físico: pressão menor → volume maior, mantendo PV constante.

Passo 5

Substituir os valores numéricos (todos em unidades coerentes dadas no enunciado):
  • V=80\\ \text{cm}^3,
  • P=15\\ \text{N}/\text{cm}^2,
  • \dfrac{dP}{dt}=-0,25\\ \bigl(\text{N}/\text{cm}^2\bigr)/\text{s}.
Calculando passo a passo:
\frac{dV}{dt} = -\frac{80}{15}\cdot(-0,25).
Simplificando:
\frac{80}{15}=\frac{16}{3}, \qquad -0,25=-\frac{1}{4},
então
\frac{dV}{dt} = -\frac{16}{3}\cdot\left(-\frac{1}{4}\right)=\frac{16}{3}\cdot\frac{1}{4}=\frac{16}{12}=\frac{4}{3}.

Passo 6

Resultado e interpretação: \dfrac{dV}{dt}=\dfrac{4}{3}\\ \text{cm}^3/\text{s}. Isso significa que, naquele instante, o volume do gás está aumentando à taxa de 1{,}333\ldots\\ \text{cm}^3 por segundo. Boa notícia: pressão caindo ⇒ volume subindo, e o resultado está coerente com a lei de Boyle.

Resposta

\dfrac{4}{3}\\ \text{cm}^3/\text{s}\\ \approx\\\ 1{,}333\\ \text{cm}^3/\text{s}

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