Um balão tendo a capacidade 10.000 m^3 é preenchido com hélio a 20^circ C e 1 atm de pressão. Se o balão é carregado com 80 % da carga que ele pode deslocar ao nível do solo, a que altura o balão atingirá o equilíbrio? Admita que o volume do balão é constante, a atmosfera isotérmica a 20^circ C, a massa molar do ar é de 28,9 g / mol e a pressão a nível do solo é 1 atm . A massa do balão é 1,3 times 10^6 g.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: temos um balão de volume cheio de hélio a e . Ele leva uma carga que é do que conseguiria levantar no nível do mar, e queremos saber a que altura ele para, supondo a atmosfera isotérmica a e volume constante.
Conteúdo: força de empuxo, lei dos gases ideais e modelo de densidade exponencial da atmosfera.
O que vamos precisar:
  1. calcular a densidade do ar ao nível do mar via gás ideal;
  2. achar massa de hélio no balão;
  3. descobrir a carga máxima e a carga real (80%);
  4. impor equilíbrio de peso e empuxo na altura ;
  5. usar para achar .

Passo 2

Calcular a densidade do ar ao nível do mar. Pela lei dos gases ideais:
rho0 = P0,Mrm arR,T
onde
rho0 = 1,013times10^5cdot0,02898,314cdot293approx1,20 kg/m^3 ,
,
,
.
Calculando:

Passo 3

Achar a massa de hélio no balão usando também o gás ideal:
nrm He=P0VR,T, mrm He=nrm HeMrm He
Com nrm He=1,013times10^5cdot10^48,314cdot293approx4,16times10^2 mol, e mrm He=4,16times10^2cdot0,004approx1,66 kg ,

Passo 4

Determinar a carga máxima de elevação ao nível do mar. O empuxo é o peso do ar deslocado:
Frm emp = rho0 V,g
Convertendo para massa de ar deslocada:
mrm ar0=rho0Vapprox1,20cdot10^4=1,20times10^4 kg
A carga máxima que pode ser içada (massa) é
mrm carga,max=mrm ar0-mrm balão-mrm He, ã
com mrm carga,max=1,20times10^4-1300-1,66approx1,0713times10^4 kg ã.
Logo

Passo 5

Como só usamos mrm carga=0,8,mrm carga,maxapprox0,8cdot1,0713times10^4approx8570,6 kg disso, a carga real é
mrm tot=1300 + 1,66 + 8570,6 approx9872,3 kg
Então a massa total no balão (balão + hélio + carga) é

Passo 6

No equilíbrio a peso total = empuxo na altura mrm tot,g = rho(h),V,g Longrightarrow rho(h)=mrm totV :
rho(h)=9872,310^4approx0,9872 kg/m^3
Logo

Passo 7

Usar o modelo exponencial da densidade isoterma:
rho(h)rho0 = e^-tfracMrm ar,g,hR,T
Isolando e^-tfracMrm arg,hRT = 0,98721,20 approx0,8227 Longrightarrow -Mrm arg,hRT = ln(0,8227) :
h = -RTMrm argln(0,8227) approx 8,314cdot2930,0289cdot9,8times0,195 approx1,69times10^3 m
Então

Resposta

O balão atinge o equilíbrio a aproximadamente de altura.

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