1. Um balde contém 4 líquidos, com densidades \rho, 5 \rho, 3 \rho e 2 \rho, todos com a mesma espessura de filme H. Se a pressão na superfície livre (onde z=0 ) valer p_{0}, quanto valerá a pressão nas interfaces z=-H, z=-2 H, z=-3 H e z=-4 H ? São dados H, p_{0}, \rho e g. Suponha que \mathbf{g}=-g \mathbf{k}.

Passo 1

O enunciado dá quatro líquidos empilhados, cada um com espessura H e densidades, do topo para baixo, \rho, 5\rho, 3\rho e 2\rho. A pressão na superfície livre z=0 é p_0. Queremos encontrar a pressão em cada interface z=-H, z=-2H, z=-3H e z=-4H. O conteúdo envolvido é mecânica dos fluidos, especificamente a estática de fluidos e a equação de Stevin.

Passo 2

Na estática de fluidos, a equação diferencial da pressão é
\frac{dp}{dz} = -\rho g,
onde g é o módulo da gravidade e \rho a densidade local. Integrando entre dois níveis z_1 e z_2 em um mesmo fluido de densidade constante, temos
p(z_2)-p(z_1) = -\rho g\,(z_2-z_1).
Como z cresce para cima, para descer de z=0 até z=-H a diferença de pressão é \rho gH.

Passo 3

Para a interface em z=-H (apenas o líquido de densidade \rho até aí):
p(-H) = p_0 + \rho g H.

Passo 4

Para a interface em z=-2H já somamos o segundo líquido de densidade 5\rho e espessura H:
p(-2H) = p(-H) + 5\rho g H = p_0 + \rho g H + 5\rho g H = p_0 + 6\rho g H.

Passo 5

Para a interface em z=-3H incluímos agora o terceiro líquido de densidade 3\rho:
p(-3H) = p(-2H) + 3\rho g H = p_0 + 6\rho g H + 3\rho g H = p_0 + 9\rho g H.

Passo 6

Finalmente, para z=-4H soma-se o quarto líquido de densidade 2\rho:
p(-4H) = p(-3H) + 2\rho g H = p_0 + 9\rho g H + 2\rho g H = p_0 + 11\rho g H.

Resposta

p(-H)=p_0 + \rho g H p(-2H)=p_0 + 6\rho g H p(-3H)=p_0 + 9\rho g H p(-4H)=p_0 + 11\rho g H

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