1. Um fluido apresenta a seguinte distribuição de pressões: p=p_{0} \exp \left(2 \alpha x^{2}-\beta y-\gamma z\right). Sabendo que a aceleração da gravidade vale \mathbf{g}=-g \mathbf{k}, obtenha a densidade do fluido como função da posição sabendo que, na origem a densidade vale \rho_{0}. São dados p_{0}, \rho_{0} e g. Note que \alpha, \beta e \gamma não são dados…

Passo 1

O enunciado dá a distribuição de pressão
p(x,y,z) = p_{0}\,\exp\bigl(2\alpha x^{2}-\beta y-\gamma z\bigr)
para um fluido em repouso sob a gravidade \mathbf{g} = -g\,\mathbf{k}. Pede-se a densidade \rho(x,y,z) sabendo que \rho(0,0,0)=\rho_{0}. O conteúdo envolvido é a equação da estática de fluidos:
\nabla p = \rho\,\mathbf{g}.

Passo 2

Da equação \nabla p = \rho\,\mathbf{g} extraímos a componente z, pois \mathbf{g} só tem z-componente:
\frac{\partial p}{\partial z} \;=\; -\,\rho\,g.

Passo 3

Calculamos \partial p/\partial z a partir de
p = p_{0}\,\exp\bigl(2\alpha x^{2}-\beta y-\gamma z\bigr).
Como \partial_z\bigl(2\alpha x^2-\beta y-\gamma z\bigr)=-\gamma, vem
\frac{\partial p}{\partial z} =\;-\gamma\,p_{0}\,\exp\bigl(2\alpha x^{2}-\beta y-\gamma z\bigr) =-\gamma\,p.

Passo 4

Substituindo em \partial p/\partial z = -\rho\,g obtemos
-\gamma\,p \;=\;-\,\rho\,g \quad\Longrightarrow\quad \rho(x,y,z) \;=\;\frac{\gamma}{g}\;p(x,y,z).

Passo 5

Usamos a condição \rho(0,0,0)=\rho_{0}. Como p(0,0,0)=p_{0},
\rho_{0} = \frac{\gamma}{g}\;p_{0} \quad\Longrightarrow\quad \gamma = \frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}.

Passo 6

Substituindo \gamma em \rho=(\gamma/g)\,p e em p(x,y,z), fica
\rho(x,y,z) =\frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}\,g}\;p_{0}\,\exp\bigl(2\alpha x^{2}-\beta y-\gamma z\bigr) =\rho_{0}\,\exp\!\Bigl(2\alpha x^{2}-\beta y-\gamma z\Bigr),
com \gamma=\rho_{0}g/p_{0}.

Resposta

\boxed{\rho(x,y,z)=\rho_{0}\,\exp\!\Bigl(2\alpha x^{2}-\beta y - \frac{\rho_{0}\,g}{p_{0}}\;z\Bigr).}

Exercícios relacionados