1. O paralelepípedo -L<x<L,-L<y<0,0<z<3 L está preenchido por um líquido com a seguinte distribuição de pressões: p=p_{0}-\rho g z. Calcule a força exercida pelo fluido sobre a parte da fronteira do paralelepípedo onde y=0 e x>z.

Passo 1

O enunciado descreve um paralelepípedo -L<x<L, -L<y<0, 0<z<3L preenchido por um líquido cuja pressão varia segundo
p = p_{0} - \rho g z.
Pede-se a força exercida pelo fluido sobre a parte da fronteira onde y=0 e ainda x>z. Para resolver, vamos usar o conceito de força de pressão como integral de superfície:
\mathbf{F} = \int_{S} p\,\mathbf{n}\,dA.

Passo 2

A face em questão é o plano y=0, com a região interna do fluido em y<0. O vetor normal exterior ao fluido (ou seja, apontando para y>0) é \mathbf{n} = \hat{\mathbf{j}}. Na projeção no plano y=0, os pontos válidos satisfazem 0<z<3L, -L<x<L e x>z. Como x\le L, o critério x>z só vale para 0<z<L e, para cada z nessa faixa, x varia de z até L. O elemento de área é dA = dx\,dz.

Passo 3

Escrevendo a integral de superfície sobre essa região, temos
\mathbf{F} = \int_{S} p\,\mathbf{n}\,dA = \hat{\mathbf{j}} \int_{z=0}^{L}\int_{x=z}^{L} \bigl(p_{0} - \rho g z\bigr)\,dx\,dz.

Passo 4

Primeiro integramos em x, visto que p_{0}-\rho g z não depende de x:
\int_{x=z}^{L}\bigl(p_{0}-\rho g z\bigr)\,dx = (L - z)\,(p_{0}-\rho g z).
Logo
\mathbf{F} = \hat{\mathbf{j}} \int_{0}^{L}(L - z)\,(p_{0}-\rho g z)\,dz.

Passo 5

Agora expandimos e integramos em z:
\int_{0}^{L}(L - z)(p_{0}-\rho g z)\,dz = p_{0}\int_{0}^{L}(L - z)\,dz - \rho g\int_{0}^{L}z\,(L - z)\,dz.
Calculemos cada parte:
\int_{0}^{L}(L - z)\,dz = \Bigl[Lz - \tfrac{z^{2}}{2}\Bigr]_{0}^{L} = \tfrac{L^{2}}{2},
\int_{0}^{L}z\,(L - z)\,dz = \int_{0}^{L}(Lz - z^{2})\,dz = \Bigl[\tfrac{L\,z^{2}}{2} - \tfrac{z^{3}}{3}\Bigr]_{0}^{L} = \tfrac{L^{3}}{2} - \tfrac{L^{3}}{3} = \tfrac{L^{3}}{6}.
Portanto
\int_{0}^{L}(L - z)(p_{0}-\rho g z)\,dz = p_{0}\,\tfrac{L^{2}}{2} - \rho g\,\tfrac{L^{3}}{6}.
Em consequência,
\mathbf{F} = \Bigl(\tfrac{p_{0}L^{2}}{2} - \tfrac{\rho g L^{3}}{6}\Bigr)\,\hat{\mathbf{j}}.

Resposta

\mathbf{F} = \Bigl(\frac{p_{0}L^{2}}{2} - \frac{\rho gL^{3}}{6}\Bigr)\,\hat{\mathbf{j}}.

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